赋予次洛伦兹度量的Heisenberg群H2的可达到集.pdf

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1、毪数学物理学报http：／／actams．wiprn．ac．CII赋予次洛伦兹度量的Heisenberg群H2的可达到集，黄体仁。杨孝平(浙江理工大学理学院杭州310018；中国科学技术大学数学科学学院合肥230022；0南京理工大学理学院南京210094)摘要：设H是R上的Heisenberg群，D是一个赋予次洛伦兹度量的左不变括号生成分布．设可达到集+(0)(J+(0))是原点0的时间(因果)未来．该文证明了，(0)是一个开集以及J。-(0)是一个闭集．这个结果类似于洛伦兹几何上的结果．关键词：叮达到集；Heisenberg群；次洛伦兹度量．MR(2000)主题分类：58E10；53C

2、50中图分类号：O184文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—816—071引言对于次黎曼几何，水平分布D上的度量是一个退化的半上E定度量g．如果我们将这个度量换成一个退化的不定度量，就产生了一种不同的几何．这种几何称为次半黎曼几何．对_F最简单的情形，就是次洛伦兹度量，它是惯性指数为1的度量．如果分布D上赋予一个次洛伦兹度量，则称这种几何为次洛伦兹几何[2-3,s]．次洛伦兹几何是次黎曼几何的一个推广．对于次洛伦兹几何，它有三类曲线，类时曲线(time—like)，类空曲线(space—like)以及类光曲线(nul1)．因此，对次洛伦兹几何的研究比次黎曼几何的研究

3、要困难的多．例如，如果研究次洛伦兹几何上的测地线，我们不得不区分是类时曲线还是类空曲线对于它的研究，Grochowski[0]计算了3一维次洛伦兹Heisenberg群上的水平曲线的可达到集．Korolko和Markina[8_证明了对于3一维次洛伦兹Heisenberg群上的任意两点P，q，只有唯一的一条类时测地线和唯一的类空测地线连接P，q．因果关系是研究洛伦兹流形的一个重要概念．如果存在一条从P点出发到达q点的类时(非类光)未来导向曲线，我们称P∈M是在按时间(因果)先于q∈M，对于每个P∈M．我们可以在P点定义两个可达到集+(p)={q∈MP按时间先于q}J+(P)={q∈MP按因

4、果先于q}在洛伦兹几何中，+(p)被称为P点的时间未来，+(P)被称为P点的因果未来．在洛伦兹几何中，已经证明了+)是一个闭集以及，+)是一个开集(性质2．2)．但是在次洛伦兹流形中，存在+(p)不是开集和次洛伦兹距离不是连续的例子．收稿日期：2012—10—08；修订日期：2013—08—06E—mail：htiren~ustc．edu．cn；yangxp~mail．njustedu．cn基金项目：国家自然科学基金(10771102)和安徽省高等学校优秀青年人才基金(2010SQRL169)资助No．4黄体仁等：赋予次洛伦兹度量的Heisenberg群H的可达到集817Golubitsk

5、y[J计算了赋予洛伦兹度量的3维Heisenberg群上的可达到集+(0)和+(0)．在文献f6]中，我们估计了高维Heisenberg群上可达到集I+(0)．本文研究赋予次洛伦兹度量的5维Heisenberg群上的可达到集，我们得到类此于洛伦兹流形上的结果，即：在赋予次洛伦兹度量的5维Heisenberg群上，J+(0)是闭集、以及，+(0)开集．本文除了引言外，包含两个部分．第二部分主要是一些预备知识，如5维Heisenberg群H和次洛伦兹流形的定义，在第三节，我们证明了+(0)是开集，+(0)是闭集．2预备知识设M是一个n一维流形，D是一个括号生成的水平分布，g是D上的一个洛伦兹度

6、量，我们称(M，D，g)是一个次洛伦兹流形．对于每个P∈M，如果"∈D则称之为水平向量．如果绝对连续曲线()的倒数)∈Da．e．，我们称该曲线是水平曲线．设u∈Dp，如果满足9(v，u)<0，则称V是类时向量；如果g(v，u)>0或"一0，则称V是类空向量；如果9(”，V)=o(v≠0)，则称V是类光向量，或零向量；如果g(v，V)0，则称V是非类空向量．如果水平曲线的切向量是类时的，则称曲线是类时曲线，简单记为T．曲线．类似，可以定义类空曲线(s．曲线)，类光曲线(N．曲线)以及非类空曲线(N．S．曲线)．如果M存在一个连续的类时向量场，则称(M，D，g)是时间定向的．从现在起，假设(M

7、，D，9)是时间定向的．设是(M，D，9)的一个时间定向，如果非类空向量V∈D满足g(v，(p))<0，则称是将来方向向量；如果满足g(v，(p))>0，则称过去方向向量．如果水平曲线的切向量是将来方向的，则称曲线是将来方向曲线，记为f．d．曲线．类似，可以定义过去方向曲线(p．d．曲线)．类似次黎曼几何，可以定义一个N．S．水平曲线空间月(t)={：[0，1】一Ml@(t)∈D(t)，_q(()，())0a．e．t∈[