Heisenberg群上的拟共形映射的Royden代数刻划与共形不变量

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1、浙江大学硕士学位论文41引言拟共形映射理论是数学中一个非常活跃的分支，它实质上是对无限小球的形状和大小保持一致有界偏差的同胚，在数学的很多领域中都有着广泛的应用。Heisenberg群上的拟共形映射是由Mostow[16]引入的，A．Kordnyi干LlH．M．Reimann[3]贝0完善了这一理论，并给出了拟共形映射的度量、几何、分析定义。1960年，Na,kai[15]i正明了两个黎曼面是拟共形等价的充要条件是它们的Royden代数是同构的。1971年，LG．Lewis[13]将这个性质推广到更高维的空间。首先他在欧式空间融中的任意开的连通的集合Q上定义TRoydenp-代数％(Q

2、)，其中实数p>1。运用F．W，Gehring和W．P．Ziemer的结果证明了础上的两个区域Q和n7拟共形等价的充要条件是它们的Roydenn-代数作为Banach代数是同构的。受文章『13]的启发，我们将此性质推广到Heisenberg群上。首先像在欧式空间讨论的一样，定义3"Heisenberg群上的任意区域上的Royden代数，借助于已经知道的Heisenberg群上的一些知识和性质，得到了定理1．1设有界区域Q，Q7CⅡp，且令f：Q—Q7是同胚映射，则，为拟共形映射的充要条件是映射妒，：％。+2(n7)一A如叶2(Q)，u—no，，是B卸acll代数同构的。其中空间尬n+2

3、(n)．尬n+2(科)分别是区域Q，Q7的Royden2n+24j己数。Yu．G．Reshetnyak[29]是第一个在础上引进并研究了拟正则映射的人，他的进一步研究f301得出如下的结果：一个非常值的拟正则映射是离散的，开的且几乎处处可微的，且满足Lusin’S条件(N)即拟正则映射将零测集映为零测集。利用拟正则映射的这些拓扑性质和分析性质，可以证明曲线族的模在拟正则映射下满足所谓的Ko一不等式和硒一不等式。Ko一不等式归功于0．Martio，S．Rickman和J．V／iis／fl／i[191，而Kr不等式是由E．A．Poletsl【iif61证明。O．Martio，S．Rickm

4、an$口J．V／iis／il／i，F．W．Gehring，M．Vuorinen，B．Bojarski，T．Lvaniec和其他人继续研究拟正则映射类，得出了拟正则映射可以用具有非负的Jacobian的Sobolev映射逼近，且可将无穷小的球映到无穷小的椭圆，且长短半轴的比有界。同样在Heisenberg群上，S．K．Vodop’yanov也定义拟正则映射，并讨论它的许多性质。对于贰“中的子区域G，利用模的共形不变性引进两个共形不变量阳(o，Y)AG(z，Ⅳ)，z，Y∈G。I．S．ca[10]和T．Kuusalo[27]研究了共形量pG，它的对偶浙江大学硕士学位论文5量k是由J．Ferr

5、and[11]ejI进的。这两个共形不变量描述了点z，可关于彼此和G的边界的位置，可以用来研究区域的共形几何性质。当G=B”，模度量pG(z，∥)和双曲度量pG有关，而一般情况，pG(z，g)反映了区域G的“capacitarygeometry”。量AG(z，Ⅳ)，当G=B”也和阳有关。类似欧式空间，在Heisenberg群上的真子区域上G也定义了量,aa(x，Ⅳ)，Aa(z，Ⅳ)，其中z，Y∈G。我们证明了定理1．2君，：G—G’=，(；是K一拟共彤映射，那么竺；；；÷}usG(f(z)，，(Ⅳ))≤Kn+lpG(z，Ⅳ)垒；；篆÷掣≤A，G(，(z)：，(可))墨Kn+IAG(z，

6、夕)其中。．Y∈G．itx≠Y。定理1．3／Me(x，9)，Aa(z，Ⅳ)是共形不变量。存证明定理1．2时，我们用到了如下的结论，性质t．4若，：Q—Q7)OK一拟共形映射，其中区域Q，Q’cⅡ丑”。那么对于所有的水平曲线族r[Q，有以下式子成立，M2n+2(r)／K“+1≤M2n+2(fF)≤K“+1M2n+2(r)在欧式空间黔上，可以借助于曲线族的模给出拟共形映射的另一种定义：令n，Q’是ⅡP内的区域，f：Q—Q7是一个同胚映射，则，是胙拟共形的充要条件是对于每个曲线族rcf2有，M。(r)／K茎M。(／r)≤jfM。(r)J．Vfiisfil苴在[12】中证明了此定义与拟共形映射

7、的度量定义和几何定义是等价。在Heisenberg群Ⅱp上，我们只证明了拟共形映射的必要条件(性质1．4)，充分条件未能证明。2用n知∽)空间来刻划Heisenberg群上的拟共形映射2．1Heisenberg群-的基本知识和一些性质Heisenberg群研是以R2n+1为底空问的一个简单的非交换Lie群，其上的非交换乘法为p．g：(五∞，(岱，，t’)=@+T7．￡+t‘一2∑(％《+，一z¨j《))·j=l其中z：(z1，z2，⋯，茹2。)