关于Seiffert平均的一个不等式

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1、第25卷第1期大
学
数
学Vol.25,
.12009年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb.2009关于Seiffert平均的一个不等式姜卫东(威海职业学院,山东威海264200)

[摘
要]给出了与两正数a,b的几何平均、算术平均、Seiffert平均有关的一个不等式.[关键词]几何平均;算术平均;对数平均;不等式[中图分类号]O122.3

[文献标识码]C

[文章编号]1672
1454(2009)01
0148
031
引

言如果a和b是两个正数,我们称a+bG=G(a,b)=ab,
A=A(a,b)=,2a1/b-a

2、b-a1b,a
b,a,a
b,L=L(a,b)=lnb-lna
I=I(a,b)=eaa,a=b,a,a=b,分别为两正数a,b几何平均、算术平均、对数平均和Identric(指数)平均.关于A,L,I,G,有如下熟知的结果G
L
I
A.1995年,SeiffertHJ在[1]中介绍了一个新的平均a-b,a
b,a-bP=P(x,y)=2arcsina+ba,a=b,并给出如下结果G
L
P
I
A.(1)2001年,SandorJ在文[2]中对G,P,A的关系作了进一步研究,得到如下一个重要结果3221AG

3、)作进一步的推广,得到如下较一般的结果定理
若a
b,则2<

1,
P<
A+(1-
)G,(3)310


,
P>
A+(1-
)G,(4)22
1-


,
P>AG.(5)3证
要证(3),即要证明
[收稿日期]2006
10
26
[修改日期]2006
12
19第1期









姜卫东:关于Seiffert平均的一个不等式149a-ba+b<
+(1-
)ab.(6)a-b22arcsina+b(6)两端同时除以b,得a-1baa<
1++2(1-
).(7)a-bbbarcsina+ba-1aa-bba1+t不妨设a>b,

4、则>1.令t==,则易知0

5、,有u0,从而f
(u)为增函数.又f
(0)=0,从而f
(u)>0,从而f(u)2为增函数.又f(0)=0,从而f(u)>0,即sinu>
u+(1-
)ucosu.再由(3)的证明过程可知,(4)成立.为证明(5),需要如下一个引理.[3]
引

6、理
设0cosx.x下面证明(5).只要证明
a-ba+b1-
>(ab).(12)a-b22arcsina+b(12)两边同除以b,可得aa-1+1
1-
bba>.(13)a2b-1b2arcsina+1b150大
学
数
学













第25卷a-1aa-bba1+t不妨设a>b,则>1.令t==,则易知0(1-t).(14)arcsint
在(14)中令u=arcsint,则0co

7、su.(15)u12由引理可知,当
3,即

时,(15)成立.1-
321特别地,在(3),(4)中取
=,即得(2).取
=,由(4)可得32A+G0,G
A,从而当1
p>q
0时,有qA+(1-q)G

8、,1995,(2):195-198.[2]
SandorJ.Oncertaininequalitiesformeans
[J].Arch