平均值不等式

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1、3.2均值不等式预习导航1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式≥求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．归纳总结：(1)重要不等式成立的条件是a，b∈R．它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a＝b，即当a＝b时，等号成立；反之，等号成立时有a＝b．【做一做1】不等

2、式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是(　　)A．a＝2　　　　　B．a＝1C．a＝D．a＝0答案：B2．(1)均值定理：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a，b，数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值，故均值定理用语言叙述是两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．公式变形：(1)a＋b≥2，ab≤2(a，b＞0)，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)a＋≥2(a＞0)，当且仅当a＝1时，等号成立．(3)＋≥2(a，b同号)，当

3、且仅当a＝b时，等号成立．【做一做2－1】若x>0，则x＋的最小值为________．解析：x>0x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立．答案：2【做一做2－2】已知00．∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．∴x＝时，函数取得最大值．答案：3．已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S2．(2)若xy＝P(积

4、为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2．名师点拨：(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．【做一做3】已知x，y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．解析：(1)当xy＝15时，x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，所以x＋y的最小值为2；(2)当x＋y＝15时，≤

5、＝，所以xy≤，当且仅当x＝y＝时，等号成立，所以xy的最大值为．答案：(1)2　(2)精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有