平均不等式的应用

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1、摘要•在本文中，我们证明随机变量不等式。这个不等式延仲文学上的Kantorovich型不等式的一些现有的结果。1•简介在许多领域，包括数学，统计学，物理学，经济学，不等式和平均值的理论是非常基本的和重要的。出于不同的关注点，有多种方式引进平均值。在概率与统计学中，最常用的手段是期望。在本文中，我们定义随机变量的算术平均值和儿何平均值的其他形式。我们将讨论三种随机变量的平均值之间的关系，并证明了一个新的随机变量的均值不等式。作为应用，我们指出了许多有重要应用价值的不等式都是随机变量均值不等式的特例。定义1,我们说inf｛x:P(^

2、和supd：P(4)=i｝，分别是随机变量§的上确界和下确界。我们简单地表示inf｛x：p(^0,我们定义随机变量孑的几何平均数G(f)为G©=Jsupginf§.定义3,如果§和〃都是有界的随机变量，我们定义随机变量〃的独立石切）=supe•sup〃+inf7inf7算数平均值石切)为2显而易

3、见，如果纟和〃是独立的，那么两个随机变量的乘积的独立的算术平均值等于两个随机变量乘积的算术平均值。也就是A^tj)=A(切)・定义4,如果纟和〃都是有界的随机变量，且inf^>0,inf7；>0,我们定义两个随机变量〃乘积的独立几何平均数乙(§〃)为G(g〃)=Jsupjinfgsup〃inf显而易见，如果f和〃是独立的，那么两个随机变量乘积的独立的几何平均值等于两个随机变量乘积的几何平均值。也就是G(^)=G伽・二・5+二・33521715sup—-sup^+inf—-inf§些鉀§2§4（黄）"⑴二皿严J,supLinf]sup：inf

4、§G（£g）=G（l）=Jsuplinfl例2.假设（§,〃）的联合概率分布如下:/＞｛（§,〃）=（1,2）｝弓,P｛@,〃）=（1,3）｝=*P｛（§,〃）=（2,1）｝弓,P｛（仙）=（2,2）｝弓,P｛e〃）=（2,3）｝=*/＞｛（§,〃）=（4,1）｝冷P｛@,〃）=（4,2）｝=*可得恥"）222人（勿）=sup（切）［inf（切）二学=5,up§・sup〃+inff・inf〃4・3+1113G（切）=Jsupginfsup"inf”=丁4・131=Vr2,G（切）=Jsup（g〃）inf（切）==V16=4.引理2・1•已知

5、f是有界随机变量,M=sup§,加=inf§,在［加,M］上/（兀）是严格递增函数。随机变量/（§）的下确界和上确界分别为/（加）和f（M）.如果在["M]上/(兀)是严格递减函数，随机变量/(勺的下确界和上确界分别为/(M)和/(加).证明.当且仅当在区间[%M]上f(x)是严格递增函数，我们证明/(M)是随机变量/(§)的上确界。其他证明等同。对于任意xwR,M=inf{x:P(^

6、^)

7、m,M]上/⑴是严格单调函数。可得心©)/(M)；型).当/(x)>0,xg

8、77?,M1，可得在此给出本章的主要结论.定理2.1.已知§和〃是有界随机变量.如果inf§>0和inf〃>0,可得鸳.助2/©7)E伽一&(切)⑴不等式成立当且仅当P{('=勺U(££)}=1和G(〃2)陀2)=G(F)E(〃2),(2)7]B7]b其中A=supg,B=sup77,a=inf,h=inf

9、7].证明•很明显，由定理可知，心,是有限数。由于P{(^--X^--)>O}=1,"B§A即为P{(B—〃)(4〃-站)》0}=1,因此⑷-猪)》0.扩展一下，可得qU00丘眾二JL(pJ)n(0J)5r泪qLi90Agco”會(SD住"(VJ)n(0J)5r怒娶(u)・ky(4)OH4BQ0)o・(卫2—wyvc—(0益•'^UH^DvqBZAl^Dv十璽8AlE茁有+V3二HOHds(g—^)5r矣W)OJ^QSO•OHGq—HVMUD—於h・Hi■驱丘・蕊号疽卅妙匕曙誓二丄0人(^—0s(gl^)57尿驱◎徑歩相(uprElyB(0

10、y)G「0号心心C—酬逗定蚁(n)(0&r(0u)d(3VJ8•會C—虻丘(寸)吴8B(寸)・0Q0H4乌$g)eTp疔(心)p^(sorrJ0y(心)o+Kny(su驱曰匸4(