对数平均不等式的应用.doc

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1、对数平均不等式。21．（2018全国1卷）已知函数．⑴讨论的单调性；⑵若存在两个极值点，，证明：．解答：，∴，当时，，，∴此时在上为单调递增.，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，即要证()3令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立.变式练习：.已知函数（1）若，求单调区间（2）如有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问是否存在，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理

2、由。解：（Ⅰ）的定义域为，当时，当或，时，，........................2分当时，..........的单调递增区间为，单调递减区间为..........4分（Ⅱ）令，则，当，即时，，在上单调递增，此时无极值；..............5分当，即时，，在上单调递增，此时无极值.............6分当，即或时，3方程有两个实数根若，两个根，此时，则当时，，在上单调递增，此时无极值.................7分若，的两个根，不妨设，则当和时，，在区间和单调递增，当时，，在区间上单调递减，则在处取得极大值，在处取得极小值，且，即…….......

3、...9分即，令，则上式等价于：令，则令，在区间上单调递减，且，即在区间恒成立在区间上单调递增，且，对，函数没有零点，即方程在上没有实根，.....................11分即（*）式无解，不存在实数，使得...............12分3