对数平均不等式的应用.doc

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1、对数平均不等式。21.(2018全国1卷)已知函数.⑴讨论的单调性;⑵若存在两个极值点,,证明:.解答:,∴,当时,,,∴此时在上为单调递增.,即或,此时方程两根为,当时,此时两根均为负,∴在上单调递减.当时,,此时在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.∴综上可得,时,在上单调递减;时,在,上单调递减,在上单调递增.(2)由(1)可得,两根得,,令,∴,.∴,要证成立,即要证成立,∴,即要证()3令,可得在上为增函数,∴,∴成立,即成立.变式练习:.已知函数(1)若,求单调区间(2)如有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问是否存在,使得,若存在,求出的值,若不存在,请说明理

2、由。解:(Ⅰ)的定义域为,当时,当或,时,,........................2分当时,..........的单调递增区间为,单调递减区间为..........4分(Ⅱ)令,则,当,即时,,在上单调递增,此时无极值;..............5分当,即时,,在上单调递增,此时无极值.............6分当,即或时,3方程有两个实数根若,两个根,此时,则当时,,在上单调递增,此时无极值.................7分若,的两个根,不妨设,则当和时,,在区间和单调递增,当时,,在区间上单调递减,则在处取得极大值,在处取得极小值,且,即…….......

3、...9分即,令,则上式等价于:令,则令,在区间上单调递减,且,即在区间恒成立在区间上单调递增,且,对,函数没有零点,即方程在上没有实根,.....................11分即(*)式无解,不存在实数,使得...............12分3

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