对数平均不等式在极值点偏移中应用.doc

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1、对数平均不等式的典型应用极值点偏移问题的母题对数、指数平均不等式与高考中的一类热点,即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系,利用对数与指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下.[母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是函数f(x)=mlnx+ax2+bx+c(m≠0)图像上的任意两点,则当m>0时,()kPQ;(Ⅱ)(指数模型)设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是函数f(x)=mex+ax2+bx+c(m≠0)图像上的任意两点,则当m>0时,()kPQ.[母题解

2、析]:(Ⅰ)由f(x)=mlnx+ax2+bx+c(x)=+2ax+b()=+a(x1+x2)+b;又由kPQ==m+a(x1+x2)+bkPQ-()=m(-),由对数平均不等式:>>当m>0时,()kPQ;(Ⅱ)由f(x)=mex+ax2+bx+c(x)=mex+2ax+b()=me+a(x1+x2)+b;又由kPQ==m+a(x1+x2)+bkPQ-()=m(-e),由指数平均不等式:>e>e当m>0时,()kPQ.1.对数模型子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax2+(2

3、-a)x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设a>0,证明:当0f(-x);(Ⅲ)若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:(x0)<0.[解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=lnx-ax2+(2-a)x(x)=-(ax-1);①当a≤0时,(x)>0f(x)在(0,+∞)上递增;②当a>0时,f(x)在(0,)上递增,在(,+∞)递减;(Ⅱ)令g(x)=f(+x)-f(-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,则(x)=+-2a=>0g(x)在[0,)上递增g(x)>g

4、(0)=0f(+x)>f(-x);(Ⅲ)设A(x1,0),B(x2,0),则kAB=0,由()1时,f(x)>g(x);(Ⅲ)如果x1

5、≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2>2.[解析]:(Ⅰ)由f(x)=xe-x(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x,列表如下,由表知f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=e-1;(Ⅱ)由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称g(x)=f(2-x)=(2-x)ex-2;当x>1时,令F(x)=f(x)-g(x)=xe-x+(x-2)ex-2,则(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-1>0函数F(x)在[1,+∞)是增函数F(x)>F(1)=0

6、f(x)>g(x);(Ⅲ)设P(x1,y0),Q(x2,y0),由x1≠x2,且f(x1)=f(x2),则x1,x2>0;令g(x)=lnf(x)=lnx-x,则()2.[点评]:指数与对数函数模型不仅具有相似的结论,实质上,由函数y=ex与y=lnx的对称性知,母题中,指数与对数函数模型的结论是等价的;把指数函数问题转化为对数函数问题是解决指数函数问题的常用方法.3.切线背景子题类型Ⅲ:(2005年湖南高考试题)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.(Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区

7、间,求a的取值范围;(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明:C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.[解析]:(Ⅰ)当b=2时,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-ax2-2x(x)=-ax-2=-(ax2+2x-1)(x>0);所以,h(x)存在单调递减区间(x)≤0在(0,+∞)内有解集区间T(x)=ax2+2x-1≥0在(0,+∞)内有解集区间a>0,或a<0,且4+4a>0a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞);(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),A

8、(x1,0),B(x2,