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1、对数平均不等式的应用★基本不等式链：已知（当且仅当取等号），即：调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数，简记为：调几算方。★对数平均不等式：对于正数，且，定义为的对数平均值，且若，即：调和平均数几何平均数对数平均数算术平均数平方平均数，简记为：调几对算方。证法1（比值代换）令，则，构造函数可证．证法2（主元法）不妨设，，记，，则，得在上单调递减，有，左边得证，右边同理可证．证法3（构造函数法）先证：要证，只需证，令，只需证,设，则，可得在上单调递减，。再证：要证，只需证，令，只需证，。设，则，故在上单调递减，。★常见等价变形：;【题型1】证明极值点偏移问
2、题【例1】已知函数，如果，且，证明：．【证明】即，，则（正数的对数平均数为），于是，得，且．【总结】用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤：⑴根据建立等量关系；⑵等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；⑶通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．【例2】已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．【证明】由得，；，由对数平均不等式得，，得．【例3】已知函数和，若存在两个实数且，满足，求证：【证明】由得，则，得；。【例4】已知函数有两个零点，则下列说法错误的是有极小值点，且【解析】函数导函数：，有
3、极值点，而极值，，正确；有两个零点：，，即：①，②①-②得：，根据对数平均值不等式：，而，，正确，错误，而①+②得：，即成立。【例5】设函数的两个零点是，求证：．【证明】由题意得，两式相减得，，则，所以．【例6】设函数的两个零点是，求证：【思路分析】⑴当时，在上恒成立;⑵当时，，令或，易知在单调递增，在单调递减，。【证明】【例7】设函数，其图像与轴交于两点，且，证明：。【思路分析】当时，恒成立，不合题;当时，令，令，在单调递减，在单调递增，。【证明】即，，则①－②得，则（正数的对数平均数为），于是，，得①＋②得，所以，由此可得．【题型2】的应用【例8】设函
4、数，其中是的导函数,设，比较与的大小，并加以证明．【解析】因为，所以，而，因此，比较与的大小，即只需比较与的大小即可.根据时，，即令,则,所以，将以上各不等式左右两边相加得：，故.【说明】本题是高考试题的压轴题，难度较大，我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握.当时，，即,令，则可得.【例9】已知函数的最小值为，证明：【证明】易求，待证不等式等价于,根据时，，即,令,则,将以上各不等式左右两边分别相加得：，,得证.【题型3】的应用【例10】设数列的通项，其前项的和为，证明：．【证明】根据时，，即，令,则，易证．【题型4
5、】的应用【例11】设数列的通项，证明：．【证明】根据时，，即，令,则，易证．【题型5】的应用【例12】已知函数的图象在点处的切线方程为．证明：【证明】当时，，即，令则,所以，,将以上各不等式左右两边分别相加得：,即,故.【例13】已知函数．⑴若时,,求的最小值；⑵设数列的通项，证明：．【解析】⑴易得,令,则,若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是减函数，符合题意；综上，的最小值是．⑵当时，，即，令,则,所以,将以上各不等式左右两边分别相加得：即故．【题型6】的应用【例14】已知．求证：对一切正整数均成立．【证明】
6、根据时，，即,令,则,变形可得：,则将以上各不等式左右两边相加得：对一切正整数均成立．
