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1、年第期数学通报算术平均一几何平均不等式的经典证明贺贤孝辽宁大连师范大学数学系一个人只有在正确地理解证明以后,才能真正地理解一个数学定理有时,只是在得到与第一个证明十分不同的另一个证明之后,他才能正确地理解这一定理若能通过数学得到逻辑思维的艺术,谁就能在生活中处处用到它一匈牙利数学家·瑞尼,算术平均一几何平均不等式简称不等式是数学中最基本的不等式它指的是。,,,,。、⋯。对于个正数⋯有全召。二⋯几等号当且仅当二⋯二时成立这个不等式,,,已有悠久历史但时至今日仍被不断地加以探讨获得了上百种奇
2、巧优美的证明不能不惊叹不等式的无穷生命力本文目的在于介绍有关不等式的从古至今的一些经典证明,它们蕴含着丰富的审美特性有的以独辟蹊径的首创性著称,有的则以简明扼要见奇,有的显示了构思的丰富想象力,而有的则以说理的透彻见长由此不仅可以看到不等式及其证明的历史发展,而且可以了解一些重要的古今数学思想和时代的思维特征马克劳林对不等式的最初阐述与证明世纪英国数学家马克劳林,!不一曾以几何语言阐述了等式的最初形“,,,,,式如果将线段分成任意多个部分⋯则这些部分之积当它们彼此相等时取得最大一这就是说,如果将
3、分成·段,,,⋯,,。··⋯“·!哟显然等价于召·⋯⋯十几等号仅当“它们彼此相等时”成立年,马克劳林在致福克斯的信中给出的证明其大意可用现代符号表述如下,,‘,设。。,兰。三三。。。,笋。用竺燥矛。,⋯代替与则这。个数的算术平均数保持不竺,旦竺上卫变而它们的几何平均数增大这是因为厂、而导致‘。·。‘丁一’“““‘““一‘创,二晰即每进行一次这样的代换,。不变但几何平均数、算术平均数增大,,,,,,如果变换到叭吐⋯城使几何平均数
4、达到最大则这些必然彼此相等此时几何平均数乳与算术平均数认相等,但认二,,,‘故民‘认东‘。,即。创·⋯。⋯几,,这个遗憾地是证明不严格至少有下面两点疏漏,,,,第一在世纪上半叶微积分借助于物理与几何直观才诞生不久还远没有完善函数有最大值在当时看作是显然的事,以致于马克劳林不加证明而认为几何平均数必有最大值数学通报年第期,,马克劳、第二林证明的基本思想是诸不全相等时通过对其中的最大者与最小者用它们的平均数代换,逐次调整成各数彼此相等问题是,这种代换最终能否达到诸‘彼此相等若能达到,那,,,,么这个过程
5、是有限的还是无限的事实上不难证明对于任给的三个正数只要它们都不等于十,马克劳林的逐次调整过程必是一个无限的过程,、,本世纪初针对这个疏漏德国数学家施图姆英国数学家布赖恩以及哈代等对马克劳林的证明做了如下改进。、,‘,‘,⋯一设诸不全相等令用和分别几,,,代换与显然这个代换也保持。不变容易证明此时一助因而调整后的几何平均数大于调整前的几何平均数,一。⋯。二几而扩从川护环石石,,,
6、,、中的最小者一次性地达到因此至多调整一次就这就是说每进行一次这种代换就使诸,·,,,。将所有个数都变换成在此过程中逐次增大直至达到最大值令⋯因而在未,有。。达到各数相等之前柯西的严格证明及柯西推理模式年法国数学家柯西,一在他的名著《分析教程》的注释中,对于不等式给出了一个精彩的证明这个证明既严格又独特,后世有人称之为柯西推理,,,为证明全二。已知的无穷整数集成立命题尸对整数成立只要证明对一个,,其中中的整数二全。对于任一个整数全必有中的某个。然
7、后借助于成立推出尸成立下面就是柯西证明不等式的现代叙述”‘先证对一切整数。任不等式成立、、、十“、一,一十一一一反一、少戈少戈少、万、、十、十十十口十久又一戈少夕戈飞一少‘、、、’、十一十一一”一
