两角差的余弦公式(张奕辉用)

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1、3.1.1两角差的余弦公式1.2.2同角三角函数的基本关系基本变形复习回顾例1.已知，且　是第三象限角，求　　　　　　　的值。解：因为，所以第三象限角，所以因为例2:已知求cosθ的值.【规范解答】∵∴θ是第一或第二象限角.当θ为第一象限角时，例2:已知求cosθ的值.【规范解答】∵∴θ是第一或第二象限角.当θ为第一象限角时，当θ为第二象限角时，例2:已知求cosθ的值.cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°成立吗?若为两个任意角,则成立吗?怎样求？PP1OxyABCM如图，设角为锐角，且法一（三

2、角函数线）BAαβ1-1yxo在单位圆中法二（向量法）对于任意,有称为差角的余弦公式，简记为说明：1.公式中两边的符号正好相反.2.公式右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后.两角差的余弦公式先求两角的正、余弦值，再代入差角余弦公式求值.提升总结同名积，符号反。公式的运用15还有其它的拆法吗？完成本题后，你会求的值吗？例3：已知且,求的值.例4：已知求公式的逆用:计算：(1)cos23°cos113°+sin23°sin113°(2)cos(β-15°)cos(β+15°)+sin(β-15°)sin(β+15°)【

3、解析】(1)原式=cos(23°-113°)=cos(-90°)=0（2）原式=cos［(β-15°)-(β+15°)］=cos(-30°)=cos30°=1．cos45°·cos15°+sin45°·sin15°等于()【解析】选B.cos45°·cos15°+sin45°·sin15°=cos(45°-15°)=cos30°=2.下列式子中，正确的个数为()（1）cos(α-β)=cosα-cosβ;（2）cos(-α)=-sinα;（3）cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ(A)0个(B)1个(C)2个

4、(D)3个【解析】选A.直接套用两角差的余弦公式.3.满足cosαcosβ=-sinαsinβ的一组α,β的值是()(A)(B)(C)(D)【解析】选B.由条件cosαcosβ=-sinαsinβ得cosαcosβ+sinαsinβ=即cos(α-β)=β=满足条件.4.化简：sin(α-β)sinα+cos(α-β)cosα=__________________.【解析】原式=cos［(α-β)-α］=cos(-β)=cosβ答案:cosβ利用差角公式求值时，常常进行角的分拆与组合.即公式的变用.1.两角差的余弦公式：2.

5、已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.3.在差角的余弦公式中，既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.【例】已知sinx+siny=求cosx+cosy的取值范围.【审题指导】由题目可知sinx+siny=欲求cosx+cosy的取值范围.可从条件与结论入手分析其特点，设法与三角公式联系起来，利用三角函数的有界性即可解决.【规范解答】设cosx+cosy=t，两边平方得

6、cos2x+cos2y+2cosxcosy=t2①由sinx+siny=得sin2x+sin2y+2sinxsiny=②①+②得2+2cos(x-y)=+t2,∴cos(x-y)=∵-1≤cos(x-y)≤1,即-1≤≤1,解得：故cosx+cosy的取值范围是【变式备选】已知sinα-sinβ=求cosα-cosβ的取值范围.【解析】设cosα-cosβ=t，∴t2=cos2α-2cosαcosβ+cos2β①把sinα-sinβ=两边平方得：=sin2α-2sinαsinβ+sin2β②①+②得：t2+=2-2(cosα

7、cosβ+sinαsinβ)，即t2+=2-2cos(α-β)，∴cos(α-β)=∵-1≤cos(α-β)≤1，∴-1≤≤1，得即0≤t2≤∴故cosα-cosβ的取值范围是