两个随机变量的函数的分布

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1、§3.5两个随机变量的函数的分布例1一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和.这两个部件的长度X和Y为两个相互独立的随机变量,其分布律如下表,求此仪器的分布律X91011p0.30.50.2Y67p0.40.6一、Z=X+Y的分布1、当X、Y为离散型随机变量时解：设仪器总长度为Z=X+Y，其可能取值如下表：X9910101111Y676767Z=X+Y151616171718则Z=X+Y的分布律为:z15161718p0.120.380.380.122、X、Y为连续型随机变量这里积分

2、区域G:x+yz是直线x+y=z及其左下方的半平面,化成累次积分,得设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为于是非负函数的积分！由概率密度的定义,即得Z的概率密度为由X,Y的对称性,fZ(z)又可写成特别,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x),fY(y),则(5.1)(5.2)式分别化为这两个公式称为卷积公式,记为fX*fY,即小结：若已知(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的概率密度的求解方法：例2设X和Y是两个相互独立的随

3、机变量,它们都服从N(0,1)分布,其概率密度为求Z=X+Y的概率密度.解:由(5.4)式即Z服从N(0,2)分布.一般,设X,Y相互独立,且X~N(m1,s12),Y~N(m2,s22).由(5.4)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布,且有Z~N(m1+m2,s12+s22).这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况.更一般地,可以证明有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布.即若X~N(mi,si2)(i=1,2,...,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+

4、X2+...+Xn仍然服从正态分布,且有Z~N(m1+m2+...+mn,s12+s22+...+sn2).例3在一简单电路中,两电阻R1和R2串联联接,设R1,R2相互独立,它们的概率密度均为:求总电阻R=R1+R2的概率密度.解:由(5.4)式,R的概率密度为易知仅当时上述积分的被积函数不等于零.zxO1020x=10x=zx=z-10因此将f(z)的表达式代入上式得例4设二维随机变量（X,Y)的联合概率密度为求Z=2X-Y的概率密度fZ(z).解法：先求分布函数FZ(z).xyO13y=2x

5、y=2x-zz/2y=2x-zy=2x-zz/2z/2Z<00≤Z<2Z≥2例5小结：对于二维连续型随机变量的函数的概率密度的求解方法：一般解法：二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有P{Mz}=P{Xz,Yz}.又由于X和Y相互独立,得到M=max(X,Y)的分布函数为Fmax(z)=P{Mz}=P{Xz,Yz}=P{Xz}P{Yz}设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(

6、y).现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.即有Fmax(z)=FX(z)FY(z)(5.7)类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为Fmin(z)=P{Nz}=1-P{N>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P(X>z}P{Y>z}即Fmin(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)].(5.8)以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.设X1,X2,...,Xn是n个相互独立的随机变量,它们特别,当X1,X2,...,Xn相互独立且具有相同分布函数时有

7、Fmax(z)=[F(z)]n,(5.11)Fmin(z)=1-[1-F(z)]n.(5.12)XYL1L2XYL1L2XYL1L2例6设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为(1)串联,(2)并联,(3)备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作).设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为:其中a>0,b>0且ab.试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度.解:(1)串联的情况由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为Z

8、=min(X,Y).由(5.13),(5.14)式X,Y的分布函数分别为由(5.8)式得Z=min(X,Y)的分布函数为于是Z=min(X,Y)的概率密度为(2)并联的情况于是Z的概率密度为由于当L1,L2都损坏时,系统L才停止工作,所以这时L的寿命Z为Z=max(X,Y)按(5.7)式得Z的分布函数为(3)备用的情况由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作,因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和,即Z=X+Y按(5.3)式,当z>0时Z=X+Y的概率密度为当z0时,f