两个随机变量的函数的分布.ppt

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1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计第五节二维随机变量的函数分布3.5.1和的分布3.5.1.1离散型随机变量和的分布3.5.1.2连续型随机变量和的分布3.5.2一般函数的分布3.5.4最大值、最小值的分布在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数Y=g(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的分布?一、离散型分布的情形例1若X、

2、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…和的分布：Z=X+Y解：依题意例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.r=0,1，…例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.回忆第二章对服从二项

3、分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1,p),则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p,于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量即:若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，则X+Y～B(n1+n2,p)二项分布的可加性类似已知:若X,Y相互独立,X

4、~P(λ1),Y~P(λ2),则X+Y~P(λ1+λ2)Possion分布的可加性例4设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.一、连续型分布的情形和的分布：Z=X+Y化成累次积分,得由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式

5、化为:这两个公式称为卷积公式.为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式即如图示:于是为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域即解法二从分布函数出发x+y=z当z<0时，1yx1可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布x+y=z当0z<1时，1yx1•z•zx+y=z当1z<2时，z-11yx1•z•z1yx1x+y=z22当2z时，例6甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12

6、:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？解:设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻以12时为起点,以分为单位,依题意,X~U(15,45),Y~U(0,60)所求为P(

7、X-Y

8、5)及P(X

9、

10、X-Y

11、5)=P(-5Y)P(

12、X-Y

13、5)类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的概率.长度为a例7设随机变量X1和X2相互独立,且均服从标准正态分布N~(0,1),求Y=X

14、1+X2的概率密度函数.解由题意得X1和X2相互独立,故结论:两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布.X1+X2~N(μ1+μ2,σ12+σ22)正态分布的可加性.即:若X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.更一般地,可以证明:推论:有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.即:若Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...