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《两个随机变量函数的分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、我们主要讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布?3.5两个随机变量函数的分布3.5.1二维离散型随机变量函数的分布律设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2,…)且二元函数z=g(x,y)对于不同的(xi,yj)有不同函数值，则随机变量Z=g(X,Y)的分布律为P{Z=g(xi,yj)}=pij,(i,j=1,2,…)例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=
2、0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:{X+Y=r}{X=0,X+Y=r}∪{X=1,X+Y=r}∪{X=r,X+Y=r}……且诸{X=i,X+Y=r},i=0，1,2,…,r互不相容例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.于是有:=a0br+a1br-1+…+arb0由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…解：依题意例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1
3、,2,…由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.r=0,1，…例3设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.若X~B(n1,p),则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z~B(n1+n2,p).3.5.2连
4、续型分布的情形1.Z=X+Y的分布例4设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.解:Z=X+Y的分布函数是:FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:这两个公式
5、称为卷积公式.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域如图示:也即于是例3.12设X和Y是两个独立的随机变量，它们都服从N(0,1),其概率密度分别为和求Z=X+Y的概率密度。解由卷积公式知，用类似的方法可以证明:若X和Y独立,结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立正态随机变量之和的情形.即有：若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).常数及有限个独立正态变量的线性组合仍
6、然服从正态分布.更一般地,可以证明:定理：设则例如，设X、Y独立，都服从正态分布，服从正态分布，且则3X-4Y+1也即或从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.若每一个问题都这样求，是很麻烦的.下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理.对二维情形,表述如下：2.假定变换和它的逆都是连续的;3.假定偏导数1.设y1=g1(x1,x2),y2=g2(x1,x2)是到自身的一对一的映射,即存在定义在该变换的值域上的逆变换:x1
7、=h1(y1,y2),x2=h2(y1,y2)（i=1,2,j=1,2）存在且连续;定理设(X1,X2)是具有密度函数f(x1,x2)的连续型二维随机变量,（略）4．假定逆变换的雅可比行列式则Y1,Y2具有联合密度w(y1,y2)=
8、J
9、f(h1(y1,y2),h2(y1,y2))（*）即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的.例6设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2).令Y1=X1+X2，Y2=X1-X2试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.故由(*)式,所求密度函数为解:令y1=x1+x2,y2=x1-x2，
