一类两个随机变量函数的分布

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1、第27卷第6期大学数学Vol_27，No．62O11年12月C0LLEGEMATHEMATICSDec．2O11一类两个随机变量函数的分布马军英(山东师范大学数学科学学院，济南250014)[摘要]给出了随机变量X，y分别是离散、连续不同类型时，其函数Z：g(X，y)分布的一般求解方法和应用举例．[关键词]随机变量，分布函数，概率密度函数[中图分类号]O211[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2011)060157—041引言在概率论中，求两个随机变量函数的分布是重要而且技巧性很强的工作，不仅对离散和连续场合有不同的方法，而且对不同形式的函数也要采用不同的方法．

2、一般地，在教科书中，常对随机变量(X，y)是二维离散或二维连续的情形、其不同函数g(X，y)的分布的求法给出讨论和应用举例．而对x，y分别是离散、连续不同类型的随机变量的情形，如何求其函数g(X，y)的分布，由于情况复杂，一般不做讨论．本文对这类问题给出了求解方法和应用举例．，2主要结论及应用举例(i)函数g(x，)关于变量Y严格单调的情形定理设离散型随机变量X的分布列为P(X=z)一p(一1，2，⋯，，2)，连续型随机变量y的概率密度为^()，X与y相互独立．若对一切，Z—g(x，)(一1，2，⋯，)关于严格单增(或单减)，其反函数Y—h(x，z)(一1，2，⋯，7z)有连

3、续导数，则随机变量Z—g(X，y)是连续型随机变量，其概率密度为㈤：．』(l(z)1，口0(一1，2，⋯，)．记a—min{g(x，一∞))，b—max{g(x，+oo))．即Z—g(x，)(一1，2，⋯，)在区间(n，6)内取值，于是，当z≤a时，Fz()一P(Z≤)一0；当≥b时，Fz()=P(Z≤)===1；当a

4、时，因为(X—z)，(X—)，⋯，(x—z)构成完备事件组，由全概率公式及X与y的独立性得[收稿日期]2009—05—21158大学数学第27卷Fz(2)一P(≤2)一P(g(x，)≤2)‘一P((g(x，y)≤2，X—z)一∑P(g(X，y)≤，X—z)一∑P(g(x，y)≤，X—z)：==∑P(g(x，y)≤z)P(X—)一P(y≤(P(x一：奎p’^()，所以Z—g(X，y)的概率密度为()一()一』^"，(置)，n

5、立．例1设随机变量X与y相互独立，X的概率分布为P(X—K)一1，K一一1，0，1．y的概率密度为^()一{：≤记z—x+y，求z的概率密度厂z()．解这里z：一1，0，1(一1，2，3)．因为=g(x，．)，)一z+y(=1，2，3)是Y的严格单调增函数，其反函数Y——zf(i一1，2，3)有连续导数且Y一1，’min{g(x，～∞)，g(x，+∞))一一∞，max{g(x，一。。)，g(xf，+∞))=+。。，所以由定理得，对任意z∈(一∞，+oo)，÷×(1+0+0)，一l≤

6、2，一。·【0，其他．(ii)函数g(x，)关于变量非严格单调的情形当函数g(z，3，)不能满足对一切．27，z—g(x，)(一1，2，⋯，)是严格单调函数、反函数连续可导的条件时，有时仍可将离散型随机变量的取值作为完备事件组，从分布函数定义出发，用全概率公式求得Z—g(X，y)的分布，下面用例子来说明此种方法．例2设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X：一1)一{，P(X=1)一号，Y服从标准正态分布，求Z：．的概率密度函数f(z)．第6期马军英：一类两个随机变量函数的分布159解因为z一一1时，—g(x，)一一Y是的单减函数；zz一1时，：g(xz，)一是Y的单增

7、函数，所以这里不满足上述定理中对一切z，Z=g(x，)(一1，2，⋯，n)关于Y严格单增(或单减)的条件．由于(X一一1)，(X一1)是完备事件组且X与y独立，所以由分布函数定义及全概率公式得Fz(z)一P(Z≤)=P(XY~z)一P(XY~z，X一一1)+P(XY~z，X一1)一P(一y≤2，X一一1)g-P(y≤z，X一1)=p(y~-z)P(x一一1)+P(y≤)P(x一1)一丢[1～(一2)]+(z)一(z)，故fz()一()一_e一．√27r例3设随机变量X与y相互独立，X的分布函数为f0，z