§4.0引言§4.1信号分解为正交函数§4.2傅里叶级数

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1、频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系(系统的频率响应函数)，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。§4.1信号分解为正交函数矢量正交与正交分解信号正交与正交函数集信号的正交分解第四章傅里叶变换和系统的频域分析一、矢量正交与正交分解矢量正交的定义：指矢量

2、Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为0。即正交矢量集定义：由两两正交的矢量组成的矢量集合。如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。且完备.矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间。矢量的正交分解：矢量A=(2，5，8)可表示为A=vx+2.5vy+4vz二、信号正交与正交函数集1.信号正交：定义在(t1，t2)区间的1(t)和2(t)满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：

3、若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：①三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)}(n=1,2,…)②虚指数函数集{ejnΩt}(n=0，±1，±2，…)是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。(i=1，2，…，n)三、信号的正交分解设有n个函

4、数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。（因为实际表示时n只能取有限多个，所以函数集一般来说不完备）通常使误差的均方误差最小。均方误差为为使上式最小展开上式中的被积函数：交换求导与积分次序，得所以系数求导。上式中只有两项不为0，写为考虑到那么于是在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞

5、时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有上式称为帕斯瓦尔(Parseval)方程（公式）。它表明：在区间(t1,t2)上f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量的能量之和。此时，函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和§4.2傅里叶级数傅里叶级数的三角形式波形的对称性与谐波特性傅里叶级数的指数形式周期信号的功率——Parseval等式一、傅里叶级数的三角形式1.三角函数集在一个周期内是一个完备的正交函数集。由定义可知{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)}(n=1,2,…)2．级数形式设周期信号f(t)，其周期

6、为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下形式——称为f(t)的傅里叶级数的三角形式系数an,bn称为傅里叶系数an是n的偶函数，bn是n的奇函数an、bn关于n的奇偶性：狄里赫利(Dirichlet)条件条件3:在一周期内，信号绝对可积。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件1：在一周期内连续，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。例2例1例3例1不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的

7、面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。例2不满足条件2的一个函数是对此函数，其周期为1，有例3周期信号，周期为1，不满足此条件。傅里叶级数的余弦形式将上式同频率项合并，可写为和傅里叶级数的三角形式作对照,得且a0=A0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量A1cos(t+1)称为基波或一次谐波A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。An是n的偶函数，n是n的奇函数。两种形式之间的关系那么An、n关于n的奇偶性：由以上推导可知，二、波形

8、的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。例例：求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶