§4.1信号分解为正交函数

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1、§4.1信号分解为正交函数矢量正交与正交分解信号正交与正交函数集信号的正交分解一、矢量正交与正交分解矢量正交的定义：指矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)的内积为0。即正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。矢量A=(2，5，8)表示为A=vx+2.5vy+4vz空间矢量正交分解的概念可推广到信号空间。二、信号正交与正交函数集1.信号正交：定义在(t1，t2)区间的

2、1(t)和2(t)满足(两函数的内积为0)则称1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±

3、2，…}是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。(i=1，2，…，n)三、信号的正交分解设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为f(t)≈C11+C22+…+Cnn如何选择各系数Cj使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数代入

4、，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的之和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和小结函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和巴塞瓦尔能量公式