周期函数分解为傅里叶级数

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1、§12.2周期函数分解为傅里叶级数一、周期函数f(t)=f(t+kT)T为周期函数f(t)的周期，k=0，1，2，……如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛的傅里叶级数。电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。二、傅里叶级数的两种形式1、第一种形式式中：K=1，2，3…系数的计算公式2、第二种形式A0称为周期函数的恒定分量（或直流分量）；A1mcos(ω1t+ψ1)称为1次谐波（或基波分量），其周期或频率与原周期函数相同；其他各项统称为高次谐波，即2次、3次、4次、……3、两种形式系数之间的关系第一种形式第二种形式A0=

2、a0ak=Akmcosψkbk=-Akmsinψk4、傅里叶分解式的数学、电气意义+-傅氏分解A0U1U2…+-u(t)u(t)分解后的电源相当于无限个电压源串联对于电路分析应用的方法是叠加定理三、f(t)的频谱傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期函数分解的结果，但不很直观。为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，得到的图形称为f(t)的频谱。1、幅度频谱各次谐波的振幅用相应线段依次排列。2、相位频谱把各次谐波的初相用相应线段

3、依次排列。OAkmkω14ω13ω12ω1ω1例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱Of(t)tω1tEm-Emπ2πT解：f(t)在第一个周期内的表达式为f(t)=Em-Em根据公式计算系数0Of(t)tω1tEm-Emπ2πTOf(t)tω1tEm-Emπ2πT=0当k为偶数时：cos(kπ)=1bk=0当k为奇数时：cos(kπ)=-1代入求得当k为偶数时：cos(kπ)=1bk=0当k为奇数时：cos(kπ)=-1Of(t)Em-Emω1t图形曲线分析:Of(t)Em-Emω1t取到11次谐波时合成的曲线比较两个图可见，

4、谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的波形。Of(t)tω1tEm-Emπ2πTf(t)=Em-Em假设Em=1，ω1t=π/2，得取到11次谐波时，结果为0.95;取到13次谐波时，结果为1.05;取到35次谐波时，结果为0.98,误差为2%矩形信号f(t)的频谱OAkmkω17ω15ω13ω1ω13、频谱与非正弦信号特征的关系波形越接近正弦波，谐波成分越少；f(t)=10cos(314t+30°)OAkmkω1ω11、偶函数f(t)=f(-t)纵轴对称的性质f(t)Otf(t)Ot四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间的关系可

5、以证明：bk=01、偶函数纵轴对称的性质f(t)=f(-t)展开式中只含有余弦项分量和直流分量f(t)=-f(-t)原点对称的性质f(t)Otf(t)Ot2、奇函数可以证明：a0=0,ak=0原点对称的性质f(t)=-f(-t)2、奇函数展开式中只含有正弦项分量满足f(t)=-f(t+T/2),称为奇谐波函数Of(t)tT3、奇谐波函数:f(t)=-f(t+T/2),叫做镜对称的性质判断:利用镜对称的性质f(t)=-f(t+T/2)3、奇谐波函数可以证明：a2k=b2k=0f(t)=展开式中只含有奇次谐波分量f(t)Ot判断下面波形的展

6、开式特点f(t)是奇函数展开式中只含有正弦分量f(t)又是奇谐波函数展开式中只含有奇次谐波f(t)=系数Akm与计时起点无关（但ψk是有关的），这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，并不会因计时起点的变动而变动；因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相作相应地改变。由于系数ak和bk与初相ψk有关，所以它们也随计时起点的改变而改变。4、系数和计时起点的关系由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择有关。但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点无

7、关。因此适当选择计时起点有时会使函数的分解简化。4、系数和计时起点的关系例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下画出整个周期的波形Of(t)t1、只含有余弦分量2、只含有正弦分量3、只含有奇次谐波分量Of(t)t1、只含有余弦分量f(t)应是偶函数关于纵轴对称Of(t)t2、只含有正弦分量f(t)应是奇函数关于原点对称Of(t)t3、只含有奇次谐波分量f(t)应是奇谐波函数镜象对称