般周期函数的傅里叶级数(I)

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1、第八节一般周期的函数的傅里叶级数以2l为周期的函数的傅里叶展开机动目录上页下页返回结束第十二章一、以2l为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式机动目录上页下页返回结束设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.机动目录上页下页返回结束证明:令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,机动目录上页下页返回结束其中令机动目录上页下页返回结束(在f(x)的连续点处)证毕(在

2、F(z)的连续点处)机动目录上页下页返回结束说明:其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中如果f(x)为奇函数,则有机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,收敛于傅里叶级数例1.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有在x=2k处级数收敛于何值?机动目录上页下页返回结束(2)将作偶周期延拓,则有机动目录上页下页返回结束说明:此式对也成立,由此还可导出据此有机动目录上页下页返回结束当函数定义在任意有限区间上时,令即在上展成傅里叶级数周期延拓

3、将在代入展开式上的傅里叶级数其傅里叶展开方法:机动目录上页下页返回结束例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束为正弦级数.内容小结1.周期为2l的函数的傅里叶级数展开公式(x间断点)其中当f(x)为奇函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓机动目录上页下页返回结束思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母

4、中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.习题课目录上页下页返回结束备用题期的傅立叶级数,并由此求级数(91考研)解:为偶函数,因f(x)偶延拓后在展开成以2为周的和.故得机动目录上页下页返回结束得故机动目录上页下页返回结束