§3.02周期信号的频谱分析——傅里叶级数

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1、§3.2周期信号傅里叶级数分析主要内容三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差矢量的正交分解若两个函数g1(t)、g2(t)在区间(t1,t2)内满足则说这两个函数在区间(t1,t2)正交，或它们是区间(t1，t2)上的正交函数。若函数集{gi(t)}在区间(t1，t2)内且函数g1(t)，…，gn(t)满足(3.1-2)则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为归一化正交函数集。满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合。即任意信

2、号f(t)在区间(t1,t2)内可由组成信号空间的n个正交函数的线性组合近似表示为若正交函数集是完备的，则完备是指对于一个在区间(t1，t2)内的正交函数集中的所有函数，不可能另外再得到一个非零的函数在同一区间内和它们正交。即不存在这样一个函数f(t)，使之能满足如果f(t)在这个区间能与它们正交，则f(t)本身必属于这个正交函数集。若不包括f(t)，那么这个正交函数集也就不完备。各分量的标量系数为包含正、余弦函数的三角函数集是最重要的完备正交函数集。它具有以下优点：(1)三角函数是基本函数；(2)用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个

3、基本物理量之间的联系；(3)单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理；(4)三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算更方便。由于三角函数的上述优点，周期信号通常被表示（分解）为无穷多个正弦信号之和。利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数，因此周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数之和，其优点与三角函数级数相同。用这两种基本函数表示的级数，分别称为三角形式傅里叶级数和指数形式傅里叶级数。它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式，也简称傅氏级数，其英文缩写为FS。本节利用傅氏级数表示信号的

4、方法，研究周期信号的频域特性，建立信号频谱的概念。一．三角函数形式的傅里叶级数是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,...由积分可知1.三角函数集2．级数形式在满足狄氏条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数周期信号f(t)，周期为T，基波角频率为其他形式利用三角函数的边角关系，还可以将一般三角形式化为标准的三角形式余弦形式正弦形式3、基波、谐波通常把频率为：称为基波。频率为：称为二次谐波。频率为：称为三次谐波。频率为：称为三次谐波。可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位

5、取决于周期信号的波形。关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。幅度频率特性和相位频率特性二．指数函数形式的傅里叶级数利用欧拉公式可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数令c0=F0代入上式，并将两个和式合并得到这样f(t)指数形式为其中系数说明三．两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式相频特性幅频特性和相频特性幅频特性频谱图幅度频谱相位频谱离散谱，谱线四．总结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系（

6、4）引入负频率(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式指数形式(2)两种频谱图的关系单边频谱双边频谱关系●●●(3)三个性质(4)引入负频率注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性波形的对称性有两类：一类是波形对原点或纵轴对称,即我们所熟悉的偶函数、奇函数。由这类对称条件可以判断级数中是否含有正、余弦(an、bn)项的情况；另一类是波形在半周期有对称条件，这类条件决定了级数中含有偶次或奇次谐波的情况。下面具体讨论对称条件对傅里叶级数系数的影响。五．函数的对称性与傅里叶级数的关系1．偶函数信号波形相对于纵轴是对称的2．奇函数3．奇谐

7、函数若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：将代入第一个积分中，有n为偶n为奇f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即同理可得n为偶数n为奇数4．偶谐函数f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量5.f(t)有两种对称条件时的系数当波形同时具备两个对称条件时，下面不加证明给出其傅氏系数计算公式。（1）奇函数奇谐函数因为奇函数an=0，只有正弦项，而奇谐函数的b2n=0，所以n为奇数（2）奇函数偶谐函数因为奇函数an=0，只有正弦项，而偶谐函数的b2n+1=0，所以（3）偶函数奇谐函数因为偶函数bn=0，只有余

8、弦项，而奇谐函数的a2n=0，所以n为偶数n为奇数（4）偶函数偶谐函数因为偶函数bn=0，只有余弦项，而偶谐函数的a2n+1=0，所以n为偶数6.坐标轴的影响有时所给波形虽不满足对称条件，但将