与旋转有关的最值

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1、难点突破专题与旋转有关的最值与路径一、构造全等，结合三边关系求最值1.如图，等腰之间△ABC中，AC=BC=,等腰直角△CDP中，CD=CP且PB=，将△CDP绕点C旋转（C、P、D三点按顺时针方向排列）（1）当∠PBC=时，BD有最小值，最小值为多少？（2）当角PBC=时，BD有最大值。最大值为多少？解：连接AD.∵△CDP、△ACB都是等腰直角三角形，∴CD=CP，AC=BC，∠PCD=∠BCA=90°.∵∠PCD=∠BCP+∠BCD=90°，∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°，∴∠BCP=∠DCA.∵∠BCP=∠ACD，BC=AC，CP=CD

2、，∴△CPB≌△CDA（SAS），∴PB=AD=.∵AB-AD≤BD≤AB+AD，∴-2≤BD≤+2.（1）当∠PBC=45°时，A、D、B共线，BD有最小值-2；（2）当∠PBC=135°时，A、D、B共线，BD有最大值+2.二、遇等边三角形，旋转求最值51.如图，△ABC中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。解：如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜

3、6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6一、遇等边三角形，旋转求最值2.如图，△ABC中，AB=，AC=3，以C为直角顶点，BC为直角边，向下作等腰直角△BCD，求AD的最大值。解：将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CB，连结AA′，则△AA′C为等腰直角三角形，5∴AA′=，AC=3，AD=A′B.∵A′B＜AB+AA′，∴当点B、A、A′三点共线时，A′B最大，此时A′B=A′B+AA′=+3=4,∴AD的最大值为4一、遇中点，构造中位线求最值1.如图，在等腰直角△ABC中，AB=

4、AC=3，在等腰直角△BEF中，BE=EF=1,O为CF的中点。当△BEF绕点B旋转时，AO的最大值为。5一、运动路径为线段长1.在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转到点B（m，1）若，则点C的运动路径长为。解：如图1所示，在y轴上取点P（0，1），过P作直线l∥x轴，∵B（m，1），∴B在直线l上，∵C为旋转中心，旋转角为90°，∴BC=AC，∠ACB=90°，∵∠APB=90°，∴∠1=∠2，作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，则Rt△BCN≌Rt△ACM，∴CN=CM，若连接CP，则点C在∠BPO

5、的平分线上，∴动点C在直线CP上运动；如图2所示，∵B（m，1）且-5≤m≤5，∴分两种情况讨论C的路径端点坐标，①当m=-5时，B（-5，1），PB=5，作CM⊥y轴于M，作CN⊥l于N，同理可得△BCN≌△ACM，5∴CM=CN，BN=AM，可设PN=PM=CN=CM=a，∵P（0，1），A（0，4），∴AP=3，AM=BN=3+a，∴PB=a+3+a=5，∴a=1，∴C（-1，0）；②当m=5时，B（5，1），如图2中的B1，此时的动点C是图2中的C1，同理可得C1（4，5），∴C的运动路径长就是CC1的长，由勾股定理可得，CC1==．5