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1、习题课----一道综合题的探究五十七中学贺文琦惠一．设计思路：初一第一学期学完了前三章代数的知识，这道综合题是2014年1月海淀区初一第一学期期末的最后一道压轴题，综合性确实非常强，涉及的知识点很多，不仅要对多种情况进行分类，而且还要进行取舍。题中出现了三个数，而且都是字母的形式，用到了方程的思想，把两个字母用含有a的代数式先进行表示，再列方程。虽然有难度，但是我还是很喜欢这道题，我觉得可以借助这道题教会孩子思考综合题的方法，从哪些方面来考虑。二．教学过程：一个字母可以表示什么数呢?可以是正数，负数或零，自从负数引入到有理数这个大家庭中后，数的运算就变得丰富多彩起
2、来。本节课我们通过一道综合题的探究，看看最后大家都会有哪些收获。（一）对问题的初步认识：探究题目：在数轴上，点向右移动1个单位长得到点，点向右移动n+1（n为正整数）个单位长得到点，点、、分别表示有理数、、．（1）当n=1时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为正数。①数轴上原点的位置可能是（）A、在点A左侧或在A、B两点之间B、在点C右侧或在A、B两点之间C、在点A左侧或在B、C两点之间D、在点C右侧或在B、C两点之间问题1：题目中的关键词是什么？你能得到什么结论?第一个关键词是n=1，如果这时没答这个也没关系，对本题不影响。第二个是a
3、、b、c三个数的乘积为正数，即abc>0,根据乘法的运算法则，积为正，则负因数的个数为偶数个，所以是0个或2个，即3个正数，或2负1正两种情况。所以原点应该在点A左侧或在B、C两点之间，选c。老师板书+++，--+。问题2：如何用含有a的式子表示b和c呢？因为n=1，且点B在点A的右侧，所以b=a+1，同理c=a+3。这样题目中的数b,c就换成了a的代数式。用含有字母a的的代数式来表示数b和c。一道题中，字母越少越好。（二）对问题的进一步认识：探究题目：在数轴上，点向右移动1个单位长得到点，点向右移动n+1（n为正整数）个单位长得到点，点、、分别表示有理数、、．（
4、1）当n=1时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为正数。②若这三个数之和与其中的一个数相等，则a=；问题1：如何理解这三个数之和与其中的一个数相等？与其中一个数相等，可以是a,也可以是b，也可以是c，所以有三种情况，要分类讨论，列出三个方程，解方程。1）a+b+c=a,a+(a+1)+(a+3)=a解得a=-22）a+b+c=b,a+(a+1)+(a+3)=a+1解得a=-1.53）a+b+c=c,a+(a+1)+(a+3)=a+3解得a=-0.5问题2：这三个解，三个a值都合适吗？为什么？题目中还有一个条件，即abc>0，所以要用这个
5、条件来对a值进行取舍，不能忽视。如：当a=-0.5时，a+1=0.5，a+3=2.5，此时abc<0，矛盾，所以舍去。而另外两个都是符合题意的。所以首先要把题目中的条件弄清楚共有几个，其次答案不唯一时要思考进行取舍。问题3：对于这道题目，你还有别的想法或方法吗？有，这三个数之和与其中的一个数相等，它的隐含意思是其中两个数的和为零，这样三个方程就可以简化为：1）b+c=0,(a+1)+(a+3)=0，解得a=-22）a+c=0,a+(a+3)=0，解得a=-1.53）a+b=0,a+(a+1)=0，解得a=-0.5然后再进行取舍，这样方程解起来稍微简单一点儿。问题4
6、：我们刚才挖掘出了第②问的隐含意思是其中两个数的和为零，如果再结合数轴，你能怎样解决第②问呢？两个数的和为零，就是两个数互为相反数，因为a,b,c三个数都不相等，所以不可能是零和零的情况，只能是一个正数和一个负数。共有三种情况：1）a与b互为相反数，则原点O在AB中点处，可是这样就出现了a为负数，b,c为正数,abc<0,就和题目条件矛盾了，所以直接舍去；2）a与c互为相反数，则原点O在AC中点处，且在B的右边，∵AC=3,∴OC=1.5，∴a+3=1.5,a=-1.5且两负一正符合题意；3）b与c互为相反数，则原点O在BC中点处，BC=2，OC=1，a+3=1,
7、a=-2,且两负一正符合题意。以上问题都请学生思考后回答讲解，其他同学补充，老师最后点拨。小结：由上面可知，先挖掘出隐含意义，把三个量的关系变成两个量的关系，再结合数轴分析很容易就淘汰了一种情况，不用列方程计算了，这样整个过程就变得很简洁。（三）对问题的更深入认识：探究题目：在数轴上，点向右移动1个单位长得到点，点向右移动n+1（n为正整数）个单位长得到点，点、、分别表示有理数、、．（2）将点C向右移动n+2个单位长得到点，点表示有理数d．若、、、d四数之积为正数，且这四个数的和与其中两数之和相等，则a=_____________________________(
8、a用含n的
