一道预赛试题的探究

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1、一道预赛试题的探究江西省余干县蓝天中学阮灵东335101电话：159703078992013年全国高中数学联赛湖北省（高一、高二年级）预赛的第11题：求函数y=/+xjx1的值域。湖北省数学竞赛组委会公布的答案如下：解：易求得函数的定义域为{兀卜》1或兀5-1}（1）易知函数y=x2+xVx2-l是［1,+8）上的增朗数，所以，当xhl时，可得^>1.1(2)当x<-1时,x-JF-I丿1V}LIR1X因为3,所以T”,l叫弓<2,以！综合可知：》>*，故函数y=x2+xJf_1的值域为（笔者通过探究得到不同的解法如下：解法

2、1易求得函数的定义域为（―oo,T］U［l，+s）。（1）易知函数y=兀厶2_］是［1,+s）上的增函数，所以当X>1时，可得y>1o7T(2)当x<-lll^t,令x=—、71,则11sinPcos20cos0cos02c/cay=sec^+sec•Vsec^0-1=sec&-sec0・tan0=l-sin0_l-sin&_1cos261一sin201+sin〃jr(

3、VOe—.7t,/.sin&e[0,1),14-sin&g[1,2),/.)je—,112」2综上可知：y〉一，故函数y=/+_i的值域为一，+oo212

4、丿解法2易求得函数的定义域为(-oo,-l]U[l,+oo),将y=x2+xylx2-m行移项得：y-x2=,两边平方整理得：x2(2y—1)二员，注意到2y—1H0(若2y—1=0,22则y=-f上面等式不成立)，则/=—,•:x>l^x<-,：.x2>f从而-^―>1,42y-2y-(y-1)2即~>0o2y-1(1)当y—1=0(即y=1)时，显然符合。(2)当『一1工0(即yHl)时，V(y-I)2>0,A2y-l>0,,+oo(1(1、综上iij知：yw—,+oo,故两数y=x1+x>Jx1-1的值域为一

5、，+oo。UJ(2丿解法1用的是三角换元的方法，解法2是通过x的范围来求得y的范围。能否找到函数的儿何意义，直观地求出函数的值域呢？笔者进一步探究得其解法如下：解法3设O为直角坐标系mOn的原点，04=(1,1),丽十,兀厶2_]),贝y=x1+x4xr^=0A•丽，其儿何意义是：函数y是鬲的模与丽在刃方向上投影的fm=x2积。下面探讨动点M的轨迹，设动点M(加皿)，则｛—,注意到函数的定义域[n=xx2-1是(一00,—l]U[1，+g)，・；加=兀〜n1,*•*ll~=X~—Ij~—fTl•:动点M轨迹的方程为n2=

6、m2-m即:2-n2=l(m>l),英轨迹是解法4IV依解法3知问题等价于:若…满足”-日-寸心)=m+n的范围。如图2所示,平移直线I：m+n=O,图2/:〃7+〃=0结合图象观察,易知加+料的范围为（丄，+00（2评注：解法3、4是在充分认识了函数的儿何意义后进行解答的，特别是解法4用化归思想很直观地进行解答，揭示了问题的几何本质，而且容易对竞赛题进行改编。改编1：求函数y=x2+2xyjx2-1的值域。（答案：函数值域为R）改编2：求函数y=x+l2x-x2的值域。（答案：函数值域为［0,l+V2］）有趣的是改编1只

7、是对竞赛题第二项的系数进行了改变，但结果岀人意料，用组委会的方法很难解答，而用木文方法能较轻松解决，尤其是解法4；改编2是从圆的背景下改编的，当然，还冇更多的改编方法，比如从椭閲或抛物线背景下进行改编，冇兴趣的读者不妨探索Z。