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1、一道预赛试题的探究江西省余干县蓝天中学阮灵东335101电话:159703078992013年全国高中数学联赛湖北省(高一、高二年级)预赛的第11题:求函数y=/+xjx1的值域。湖北省数学竞赛组委会公布的答案如下:解:易求得函数的定义域为{兀卜》1或兀5-1}(1)易知函数y=x2+xVx2-l是[1,+8)上的增朗数,所以,当xhl时,可得^>1.1(2)当x<-1时,x-JF-I丿1V}LIR1X因为3,所以T”,l叫弓<2,以!综合可知:》>*,故函数y=x2+xJf_1的值域为(笔者通过探究得到不同的解法如下:解法
2、1易求得函数的定义域为(―oo,T]U[l,+s)。(1)易知函数y=兀厶2_]是[1,+s)上的增函数,所以当X>1时,可得y>1o7T(2)当x<-lll^t,令x=—、71,则11sinPcos20cos0cos02c/cay=sec^+sec•Vsec^0-1=sec&-sec0・tan0=l-sin0_l-sin&_1cos261一sin201+sin〃jr(
3、VOe—.7t,/.sin&e[0,1),14-sin&g[1,2),/.)je—,112」2综上可知:y〉一,故函数y=/+_i的值域为一,+oo212
4、丿解法2易求得函数的定义域为(-oo,-l]U[l,+oo),将y=x2+xylx2-m行移项得:y-x2=,两边平方整理得:x2(2y—1)二员,注意到2y—1H0(若2y—1=0,22则y=-f上面等式不成立),则/=—,•:x>l^x<-,:.x2>f从而-^―>1,42y-2y-(y-1)2即~>0o2y-1(1)当y—1=0(即y=1)时,显然符合。(2)当『一1工0(即yHl)时,V(y-I)2>0,A2y-l>0,,+oo(1(1、综上iij知:yw—,+oo,故两数y=x1+x>Jx1-1的值域为一
5、,+oo。UJ(2丿解法1用的是三角换元的方法,解法2是通过x的范围来求得y的范围。能否找到函数的儿何意义,直观地求出函数的值域呢?笔者进一步探究得其解法如下:解法3设O为直角坐标系mOn的原点,04=(1,1),丽十,兀厶2_]),贝y=x1+x4xr^=0A•丽,其儿何意义是:函数y是鬲的模与丽在刃方向上投影的fm=x2积。下面探讨动点M的轨迹,设动点M(加皿),则{—,注意到函数的定义域[n=xx2-1是(一00,—l]U[1,+g),・;加=兀〜n1,*•*ll~=X~—Ij~—fTl•:动点M轨迹的方程为n2=
6、m2-m即:2-n2=l(m>l),英轨迹是解法4IV依解法3知问题等价于:若…满足”-日-寸心)=m+n的范围。如图2所示,平移直线I:m+n=O,图2/:〃7+〃=0结合图象观察,易知加+料的范围为(丄,+00(2评注:解法3、4是在充分认识了函数的儿何意义后进行解答的,特别是解法4用化归思想很直观地进行解答,揭示了问题的几何本质,而且容易对竞赛题进行改编。改编1:求函数y=x2+2xyjx2-1的值域。(答案:函数值域为R)改编2:求函数y=x+l2x-x2的值域。(答案:函数值域为[0,l+V2])有趣的是改编1只
7、是对竞赛题第二项的系数进行了改变,但结果岀人意料,用组委会的方法很难解答,而用木文方法能较轻松解决,尤其是解法4;改编2是从圆的背景下改编的,当然,还冇更多的改编方法,比如从椭閲或抛物线背景下进行改编,冇兴趣的读者不妨探索Z。