一道2013年甘肃省预赛试题的解法、源头及推广.pdf

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1、第11期王平定，等：一道2013年甘肃省预赛试题的解法、源头及推广·45·一道2013年甘肃省预赛试题的解法、源头及推广●王平定王怀明(会宫中学安徽枞阳246740)1试题及解法即lAFI+IFI≤lABI，例1如图1，抛物线y2=2(其中P>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的因此=≤字，2个动点，且满足A船=当且仅当IAFI=IBFI时，取到等号．120。，过弦AB的中点M作抛2题源探究物线准线的垂线MN，垂足为我们发现，这道试题是由2012年全国高中数Ⅳ，则~．面IMNI的最大值为图l学联赛的一道试

2、题改编而来的．(2013年甘肃省数学竞赛预赛试题第9题)例2抛物线)，2=(其中P>0)的焦点为F，准线为z，A，B是抛物线上的2个动点，且满足解法1设F=(其中0<<詈)，则由船=孚，设线段AB的中点M在z上的投影为正弦定理得IAFIIBFIIABIⅣ，则~．面IMNI的最大值是sin一sin(弓『_一)一sin23'rr’(2012年全国高中数学联赛试题第4题)lAFI+IFIIABI从而按照例1的2种解法可求得最大值为1．sin+sin(弓．_一)一sin23a'r’3试题推广在任意抛物线中，当／AFB

3、为已知角时，即!!±!星：—sin0+sin(3-0)—：是否有最大值?若有，则最大值与之间存’IA1．Z1Tn了在怎样的关系呢?经过探究，得到如下结论：in(＼+旦3)／．结论抛物线Y=(其中P>0)的焦点为F，准线为z，A，为抛物线上的2个动点，设线段由梯形的中位线定理及抛物线的定义，可得A中点在z上的投影为J7、7．若／__AFB=，则IAA1I+IBB1IIAFI+lBFl．．IMNl=——=—，的最大值为=__．从而向面IMNI=—=譬芎s吼in(【+子)J．’Ⅱ证明设／_ABF=0(其中0<0<1

4、T—)，则故当=詈时，取得最大值孕由正弦定理得AFIFIlA解法2由抛物线定义得sinOsin(1T一一0)一sina’IAFI+IBFl=IAA1I+IBB1I=2IMNI，，．1／vlI，4l+I8I故—一从而尝=，又在AABF中，lABI=IAFl+IBFI一2IAFI·lBFIcosl20。。即：：．即lABl=(IAFI+lBFI)一IAFI·IBF1．虬n又IAFI．I≤，由梯形的中位线定理及抛物线的定义，得AA1I+IBB1IIAFI+JBF则lABl≥÷(IAFI+lBFI)，MN＼=2·46

5、·中学教研(数学)2014正AA1l+IBB1lIAFl+lBFⅣI=从而面IMNI一!±!墨22e一2IABI在AABF中，设／__．ABF=0(其中0<0<"iT一)，则由正弦定理得当且仅当0=时，取到最大值—一，此时lAFlIBFlIABI2sin詈sinOsin(1T—一0)sincr’从～l向lAFI+I，IIAIIAFI=IFI．，由该结论，令：，得例1中的最大值即=堂=sin0+詈)．为=、__，=字3，令=子3得例2中IABI的最大值Sln——=Ⅱ为—L：1sin0+詈)．因此面IMNI==2

6、sin詈2esin詈进一步，面IMNI有没有最小值呢?由上面的证由ol<0+号<霄一手，得明过程知MN：c其，sino／0)的焦点为F，当点F为左焦点、l为左准线时，也有相应的准线为Z，A，B为抛物线上的2个动点，设线段AB结论．的中

7、点M在l上的投影为Ⅳ．若LAFB=，则定理3双曲线一=1(其中n>0，b>o)的取值范围是2毒】．的右焦点为F，右准线为f，A，B为双曲线右支上的4类比研究2个动点，设线段AB的中点M在l上的投影为Ⅳ．在椭圆和双曲线中也有类似的结谂定理2椭圆+告=1(其中n>b>o)的右若AFB则的取值范围是去】．焦点为F，右准线为l，A，B为椭圆上的2个动点，易知抛物线的离心率为1，将e=1代人定理2设线段AB中点M在l上的投影为若／__．AFB=和定理3即为定理1，因此以上3个定理可以统一为如下定理：，则-．面IMNI的

8、取值范围是(，再1]．’定理圆锥曲线C：Ax+Cy2+2Dx+2ey+证明如图2，设点A，BlF=0(其中A+C≠O)的焦点为F，相应的准线为A在l上的投影分别为A，B，则。＼、ⅣAll，A，B为圆锥曲线上的2个动点，设线段AB的中1lAAl=一,ItIAFl，‘点在f上的投影为Ⅳ．7~LAFB=，则的e／BB1—1J，I=I，1．／】1，‘e图2取值范围是(’—2es再inaJ·由梯形的中位线定理