一道圆与抛物线综合题目的求解与探究.pdf

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1、42数学通讯——2O13年第1O期(上半月)·专论荟萃·一道圆与抛物线综合题目的求解与探究王安寓(江苏省南京市六合区程桥高中，211504)一、题目的求解表不．而隐含条件MN一4的发现，恰是条件“圆D题目1动圆D过定点A(O，2)，圆心D在抛与z轴交于MN”的理解与深挖．物线z一4y上运动，MN为圆D在z轴上截得的思路一用余弦定理和三角形的面积，将弦．当圆心D运动时，记IAMI—m，IANI一7／，求+一m的最大值．+转化为关于LMAN的函数．1IL1t分析本题的条件有：①动圆D过定点A(0，解法1设圆心D为(n，)，则圆D的方程2)；②圆心D在抛物线z一4y

2、上；③MN为圆D为(z—n)。+(一)一n+(2一az)在z轴上截得的弦．本题的目标：当圆心D运动，当—时，记lAMl—m，IAN1=，求+的最大O时，．27一口4-2，所以IMNl一4．frL}t令AMAN：==0，由余弦定理，得16===m。+。值．——2mnCOS0．条件①②告诉我们有一J个动圆，它过定点A，且圆心又由s△一专sin一1lMNl一在抛物线z一4y上，条件③＼／；～×4×2—4，所以一2sin，所以告诉我们动圆一定与定直线M(D)＼，X轴有两个交点．作出图形，nz旦q-一m—mz+—一2(sin+cos臼)如图1，从图形上看，动圆与图lmm

3、T／定直线轴有两个交点．从数上看，设圆心D(a，一2√2sin(0+45。)≤2√2，)，则D到定直线z轴的距离为d=“-7-，而圆D所以，旦+的最大值为2，当一45。时取frLrI得最大值．的半径r：==√n+(2一az)。一44+(等)，显然点评：解法1中的余弦定理易想到，而面积不d

4、常用想法就是转化为一外，解法1中的的取值范围没有显示，会不会影m7／个变量的函数，运用函数思想求最值．转化为哪个响最值?显然的大范围是(O，7c)，可能不影响旦+H变量的函数呢?这就需要考虑：①m，7／之间有关系吗?如果有关系，那么转化的最大值．自然，就有一个问题：能求出8的取值为m或7／的函数，求最值应是最佳的解法．范围吗?我们后面再探讨这个问题．②可以整体消去m，7／后转化为其他变量的函思路二用圆心的横坐标n表示+，运数关系吗?ff7／很显然，解决本题的关键有二：①隐含条件用不等式思想或函数思想求最值．2MN一4的发现和应用；②将旦+用一个变量一解法2设圆

5、心D为(0，)，则圆D的方程·专论荟萃·数学通讯——2O13年第1O期(上半月)43为(-a)。+(一：12)。一n。+(2-)弦．当圆心D运动时，△AMN的面积是定值4．，当一我们不禁要问：圆心D在抛物线z一4y上运0时，z—a±2，取M(a一2，O)，N(a十2，0)，则m动，MN为圆D在轴上截得的弦．若当圆心D运一、，一，于是动时，弦MN的长是定值，则动圆D过定点A吗?。mm+扎。2(口。+8)定点A的坐标是多少?m，翮√口+64题目2圆心D在抛物线z一4y上运动，MN为圆D在z轴上截得的弦．若当圆心D运动—2／16a2，时，弦MN的长是定值，则动圆D是

6、否过定点?若当口一0时，旦+一m一2；过定点，请求出定点A的坐标．一2当口≠0时，口。>0，解假设圆D过定点A(s，￡)，圆心D(a，)，2<+一2／16aZ厂————————■——一则圆D的半径r一／(口一s)+(“_一)，圆心DV‘±2一≤2／腰16a2—2厄到z轴的距离为d一“-7-，依题意得r上一d。一a。一‘士2当且仅当口一8，。一±2时取等号．一2as+5一￡+t一(1一÷)a。一2as+s。+t为厶厶综上，旦+∈F-2，2侗，故旦+里的最大值定值(与口无关)，于是1一÷一0，一2s一0，解得厶2S一0，t一2．所以动圆D过定点A(O，2)，且MN

7、一解法3同解法3得+一，设”‘√十642~／s+t0—4．更一般地，可以得到n===8tan，∈Eo，詈)，则结论3动圆D过定点A(0，)，圆心D在抛+一m一翌±一2(sinrp+COS)物线。一2py(p>O)上运动，MN为圆D在z轴m1／COS∞上截得的弦．当圆心D运动时，弦MN的长是定值一2√in(十手)≤2，2p．结论4圆心D在抛物线z一2py(>O)当且仅当=：=孚时取等号．上运动，MN为圆D在z轴上截得的弦．若当圆心D运动时，弦MN的长是定值2p，则动圆D必过定故+的最大值为2点A(O，)．点评解法2、解法3与解法1比较，成功之三、两个问题的解决处

8、是，解法2、解法3都能求出旦+的最大值