专题抛物线与圆综合探究题

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1、专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线y=ax1+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为兀=1,B(3,0),C(0,-3),⑴求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P到3、C两点距离Z差最大？若存在，求岀P点坐标；若不存在,请说明理由；⑶平行丁x轴的一条直线交抛物线于M、"两点，若以为直径

2、的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径.解：(1)将C(0,-3)代入y=ax2+bx+cf得c=-3・将c=-3,B(3,0)代入Xy=ax2+bx+c,得9q+3b+c=0.Tx=1是对称轴，/.=1.将(2)代入(1)得a=l,b=-2.二次函数得解析2a式是〉，二兀2一2兀一3・(2)AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离Z差最大的点•TC点的坐标为(0,-3),A点的坐标为(―1,0),・・・直线4C的解析式是y=-3x-3,乂对称轴为兀=1,・・・点P的坐标(1,-6).(3)设M(X],y)、N(x2,y),所求鬪的半径

3、为r,则x2-x}=2r,.(1)对称轴为尢=1,二七+州=2・.(2)由(1).(2)得：兀2二厂+1・•⑶将N(厂+1』)代入解析式y=x2-2x-3,得y=(厂+1)2_2(厂+1)—3,.(4)整理得：y=r2-4.山于r=±y,当y〉0时，r2-r-4=0,解得，厂］=“严,r2(舍去)，当时,r2+r-4=o,解得，=z!±i!I,①二丄山(舍去).所以鬪的半径是2-22或-1+V17例2、已知：在平面玄角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图彖与x轴交于点A,抛物线y=ax^+bx+c经过0、A两点。⑴试用含a

4、的代数式表示b；⑵设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在OD内，它所在的圆恰与0D相切，求0D半径的长及抛物线的解析式；⑶设点B是满足⑵屮条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得ZPOA=-ZOBA^若存在，求出点P的坐标;3若不存在，请说明理由。（1）解法一：•・•一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A・••点A的坐标为（4,0）•••抛物线y=+/?兀+c经过0、A两点/.c=0,166/+4/?=0/.b=-4a解法

5、二：：•一次函数y=kx-4k的图象与X轴交丁-点A・••点A的坐标为（4,0）•・•抛物线y=ax2+bx+c经过0、A两点・••抛物线的对称轴为直线x=2x==22a（2）解：山抛物线的对称性可知，DO=DA.点0在OD±，且ZDOA=ZDAO又山（1）知抛物线的解析式为y=ax2-Aax:.点D的坐标为（2,-4a）①当a>0时，如图1,设OD被x轴分得的劣弧为OmA,它沿x轴翻折后所得劣弧为氐，显然所在的圆与OD关于x轴对称,设它的闘心为D，•••点D'与点D也关于x轴对称•・•点0在OD*±，且0D与OD'相切・••

6、点0为切点・・・D'O丄0DAZD0A=ZD，0A=45°AA-4a=-2ADO为等腰直角三和形.・.OD=2VI・••点D的纵坐标为一2I・•・ci——9b=—4a=-22抛物线的解析式为y=-x2-2x②当ovO时，同理可得：OD=2迈抛物2线的解析式为y=-丄兀$+2x综上，OD半径的长为2迈,抛物线的解析式为y=-x2-2x或y=昇+2兀（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得ZPOA=-ZOBA设点P的坐标为（x,3y),JDLy>0①当点P在抛物线y一2兀上时（如图2）•••点B是（DD的优弧上的一点.・.

7、ZOBA=-ZADO=45°2EP:.tanZPOE=OE轴于点EAZ=tan6()°Xy=y/3xXj=44-2a/3(x2=0y}=64-4^31>?2=°:,ZPOA=-ZOBA=6()°过点P作PE丄x3y=V3x由q1n解得:y=-LX2-2xU2(舍去)・••点P的坐标为(4+2^3,6+473)②当点P在抛物线y=-丄F+2兀上时(如图3)2同理可得，y=山vX=4-2^3=0-(舍去)・••点P的=-6+4V3〔歹2=°坐标为(4-2^3,-6+473)综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为(4+2a/亍,6+4

8、侖)或(4-2^3»-6+4^3)例3、如图，在直角坐标系中,OC过原点0,交x轴T点A(2,0),交y轴于点B(0,2^3)。⑴求I员I心的朋标；⑵抛物线y=ax'+bx+c过0、A两点，且顶点在正比例函数y=_伞的图象上，求抛物线的解析式；⑶过圆心C作平行八