专题：抛物线及圆综合探究题 附答案

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1、专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,，（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径．解：（1）将代入，得．将，代入，得．∵是对称轴，∴．因此，可得，．二次函数得解析

2、式是．（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点．∵点的坐标为，点的坐标为，∴直线的解析式是，又对称轴为，∴点的坐标．（3）设、，所求圆的半径为r，则①，∵对称轴为，∴②。由①②得：③。将代入解析式，得④。整理得：．由于圆与x轴相切，即有r=±y。当时，，解得，，（舍去）；当时，，解得，，（舍去）．所以圆的半径是或．例2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折

3、后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为（4，0）。又∵抛物线经过O、A两点，解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为（4，0）。又∵抛物线经过O、A两点，∴抛物线的对称轴为直线，，∴b=－4a。（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA，∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO。又由（1）知抛物线的解析

4、式为∴点D的坐标为（）①当时，如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'。∴点D'与点D也关于x轴对称，∵点O在⊙D'上，且OD与⊙D'相切，∴点O为切点，∴D'O⊥OD∴∠DOA＝∠D'OA＝45°∴△ADO为等腰直角三角形∴点D的纵坐标为∴抛物线的解析式为；②当时，同理可得：，抛物线的解析式为；综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或。（3）解：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得。设点P的坐标为（x，y），且y＞0。①当点P在抛物线上时（如图2），∵点B是⊙D的优弧上的一点过点P

5、作PE⊥x轴于点E由解得：（舍去）∴点P的坐标为；②当点P在抛物线上时（如图3）同理可得，。由解得：（舍去）∴点P的坐标为；综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为或。注意：动点B的变化不影响∠OBA的大小。例3、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。（1）求圆心的坐标；（2）抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数y＝－x的图象上，求抛物线的解析式；（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在（2）中的抛物线上；（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y

6、0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。解：（1）∵⊙C经过原点O，∴AB为⊙C的直径。∴C为AB的中点。ABCDEFOHxy过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。∴圆心C的坐标为（1，）。（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。∵抛物线的顶点在直线y＝－x上，∴顶点坐标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为。（3）∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C的半径r＝2。∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上。（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙

7、C的内部时，满足∠APB为钝角。∴－1＜x0＜0或2＜x0＜3。例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为，又

8、抛物线经过点N（2，3），所以解得a＝－1。所以所求抛物线的解析式为y＝令y＝0，得解得：得A