Logistic模型的参数估计及人口预测_王学保

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1、第27卷第6期北京工商大学学报(自然科学版)Vol.27No.62009年11月JournalofBeijingTechnologyandBusinessUniversity(NaturalScienceEdition)Nov.200975文章编号:1671-1513(2009)06-0075-04Logistic模型的参数估计及人口预测王学保,蔡果兰(中央民族大学理学院,北京100081)摘要:用数值微分和线性拟合化技术对Logistics模型进行了参数估计,由此检验了2005～2007年中国总人口数的误差情况,其中2007年用相关参考文献的等差

2、参数估算方法所得结果的相对误差为5.58%,而本文参数估算所得结果的相对误差为0.114‰,预测取得了理想的效果.关键词:Logistic模型;人口预测;参数估计;数值微分;线性拟合中图分类号:O22文献标识码:A[2]方程.1背景简介用变量分离法求得方程(2)的解为xmxm人口问题是影响中国发展的重要因素,准确预x(t)=可简化为x=bt.xm-rt1+ae测出未来人口的发展趋势对国家的整体发展规划有1+-1ex0重要的指导意义,考虑到种内对资源的竞争,可以假(2)设人口增长率r是人口x(t)的函数r(x),即不同设初始人口x0

3、得当t※∞,x※密度的人口有不同的净增长率.Logistic假设r(x)xm,对(1)求导得x″=(1-2x/xm),经过分析可知是x(t)的减函数,且是x的线性函数r(x)=r-人口增长率的极值点是x=xm/2,即当x=xm/2sx,s>0,这里的r相当于x(t=0)时的增长率r时人口增长率最大,前一半为快速增长期,后一半为(x)

4、公式(2)可以看出要想预测出人口数量,需求所能容纳的最大人口数量.则当x=xm时,人口的出参数xm,r或a,b,文献[3]对人口增长过程利用增长率为零,即0=r-sxm;s=r/xm,在Logistic的[1]曲线拟合,使点到模型的垂直距离的平方和(即残差线性假设下,有以下的Logistic模型平方和)是最小值,即达到最佳拟合,采用最小二乘dxx=r1-x,x(0)=x0.(1)dtxm法求n2Logistic模型是1938年Verhulst-Pearl在修正xmE(xm,r)=∑-rt-yii=11+(xm/x0-1)e非密度方程时提出的,他认为

5、实际增长率不是内禀增长率,而是在一定的环境中种群的增长总存在一的最小值,通过求E/xm,E/r并令两者为零,个上限,当种群的数量逐渐向着上限上升时实际增利用Matlab软件进行处理可以估算xm,r的值,文长率就要逐渐地减少,因而也被称为Verhulst-Pearl献[4-6]对解进行去倒数处理得到1/x=1/xm-收稿日期:2009-01-16基金项目:中央民族大学青年教师基金资助项目(cunA08).作者简介:王学保(1977—),男,黑龙江讷河人,硕士研究生,研究方向为微分方程.76北京工商大学学报(自然科学版)2009年11月-rt(1/x0

6、-1/xm)e,利用等长度时间t0,t1,t2=2t1b-ah=,当函数y=f(x)在分点上用离散数值表n所对应的三个人口数量x0,x1,x2,利用时间的等差示为(xk,yk),a=x0

7、关参数.y(xn)-y(xn-1)f′(xn),h2预备知识误差为O(h),为了提高精度利用二次差值函数得2下面是本文参数估计所需的理论知识和相关到精度为O(h)的三点公式,即在x0,xk,xn处的MATLAB软件应用.求导公式1)数值微分:根据函数在一些离散点的函数-3y(x0)+4y(x1)-y(x2)f′(x0)2h值,推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方f(xk+h)-f(xk-h)法.通常用差商代替微商,或者用一个能够近似代f′(xk)(k=1,2,…,n-1)2h替该函数的较简单的可微函数(如多项式或样条函y(xn-2)-4y(xn

8、-1)+3y(xn)数等)的相应导数作为能求导数的近似值.一些常f′(xn).2h用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等