Logistic模型的参数估计及人口预测

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1、万方数据第27卷第6期北京工商大学学报(自然科学版JV01．27No．62009年11月JournalofBeijingTechnologyandBusinessUniversity(NaturalScienceEdition)Nov．200975文章编号：1671．1513(2009)06．0075—04Logistic模型的参数估计及人I"1预测王学保，蔡果兰(中央民族大学理学院，北京100081)摘要：用数值微分和线性拟合化技术对Logistics模型进行了参数估计，由此检验了20052007年中国总人口数的误差情况，其中2007年用相

2、关参考文献的等差参数估算方法所得结果的相对误差为5．58％，而本文参数估算所得结果的相对误差为0．114‰，预测取得了理想的效果．关键词：Logistic模型；人口预测；参数估计；数值微分；线性拟合中图分类号：022文献标识码：AI背景简介人口问题是影响中国发展的重要因素，准确预测出未来人口的发展趋势对国家的整体发展规划有重要的指导意义，考虑到种内对资源的竞争，可以假设人口增长率r是人口z(t)的函数r(z)，即不同密度的人IZl有不同的净增长率．Logistic假设r(z)是．27(t)的减函数，且是z的线性函数，．(z)=r一$37，j>

3、0，这里的，．相当于．27(z=0)时的增长率，．(z)

4、种群的增长总存在一个上限，当种群的数量逐渐向着上限上升时实际增长率就要逐渐地减少，因而也被称为Verhulst．Pearl方程【21．用变量分离法求得方程(2)的解为(2)设初始人口zo

5、过程利用曲线拟合，使点到模型的垂直距离的平方和(即残差平方和)是最小值，即达到最佳拟合，采用最dx--乘法求E(Xrn，T)=耋(而习斋飞)2的最小值，通过求3E／3x。，aE／3r并令两者为零，利用Matlab软件进行处理可以估算z。，r的值，文献[4—6]对解进行去倒数处理得到1／x=1／37。一收稿日期：2009—01—16基金项目：中央民族大学青年教师基金资助项目(CUrtA08)．作者简介：王学保(1977～)，男。黑龙江讷河人，硕士研究生．研究方向为微分方程万方数据76北京工商大学学报(自然科学版)2009年11月(1／xo一1／

6、x。)e一“，利用等长度时间to，￡1，t2=2t1所对应的三个人口数量zo，z1，z2，利用时间的等差性求得相关参数．(Xl—X0)z2Fm瓦X12瓦10’【一zJzX0(1+P”)，、zⅢ2百i忑万(Ftl—to2t2叫1)‘本文利用数值微分并对函数采用线性拟合化的技术来估箅相关参数．2预备知识下面是本文参数估计所需的理论知识和相关MATLAB软件应用．1)数值微分：根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法．通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数(如多项式或样条函数等)的相应导数

7、作为能求导数的近似值．一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的．2)由导数的定义可得精度为o(h)的向前差分和向后差分公式：八z)兰位盟掣，厂(z)竺血上掣．为了提高精度引入精度为o(^2)的中心差商公式．定理[71(精度为0(h2)的中心差商公式)设函数y=f(x)在[口，b]上具有三阶连续导数，且z—h，z，z+h∈[口，b]，贝0有八z)竺世盟旨盟型，(3)且存在e=亭(z)∈(n，b)，使得厂(z)=』i互j二堕三丢掣+Rc(，，^)，(4)其中h(h>0)是绝对值较小的增量，

8、R，(f，c)为公式(4)的截断误差，公式(3)右端称中心差商，公式(4)称为中心差商公式．如果将数值求导空间[t2，b]进行7"／等分，步长^=气≯，当函数y=，