基于logistic回归模型的人口预测分析

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1、基于Logistic回归模型的人口预测分析尹东旭，李阳，马雨晨指导老师：徐慧(空军工程大学，西安XXXXXX)摘要：本文在数值微分法和最小二乘法曲线拟合的基础上对Logistic回归模型进行参数估计，预测了人口城镇化和老龄化两个影响因素以及2016-2030年我国的人口总数以及人口所能达到的最大值并对其加以检验。关键词：Logistic回归模型；数值微分；参数估计；曲线拟合；人口预测1问题重述与社会背景对于中国这样一个人口大国，人口问题始终是制约我们经济、文化等各方面发展的关键因素之一。如何使用数学模型来对我国的人口增长进行准确而有效的预测，关乎我国的人民幸福

2、，更关乎国家的发展大事。近年来中国的人口发展呈现了一些新的特点，比如老龄化进程加速，男女比例失调，以及农村人口城镇化，特别是计划生育政策的施行，这些都不同水平的影响着人口的增长，而这些因素影响着人口增长趋势预测的准确性。为此，如何综合考量各方面的因素，较为精确的刻画出人口增长趋势，是本文的主要目标。经过分析与讨论后，我们着重探讨了以下问题：1.如何从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考表1中的相关数据及其他材料，建立中国人口增长的数学模型；-21-2如何利用建立的数学模型对中国人口增长做出预测并加以检验。1基本假设1.预测时间内没有重大瘟疫、战争、自然灾害

3、等非正常因素影响人口发展。从图1中可以看出2003年60岁以上老人的死亡率因为SARS流行达到五年年来最大值，其余年份假设基本保持平稳。（见图1）图1(数据来源于中国统计年鉴)2.不考虑多胞胎情况。3.忽略人口统计时漏报误报现象。4.假设人口只受我国国内的出生率、死亡率和迁移因素影响，不考虑国家之间的移民。-21-1模型的分析与建立1.1logistic模型的介绍Logistic模型是1938年Verhulst—Pearl在修正非密度方程时提出来的，他认为在一定的环境中种群的增长总存在一个上限，当种群的数量逐渐向着上限上升时实际增长率就要逐渐地缩小，所以也被称

4、为Verhulst—Pearl方程。广义Logistic曲线可以模仿一些情况的人口增长（P）的S形曲线。起初阶段大致是指数增长；然后随着人口开始变得饱和，增加变慢；最后，达到成熟时增加停止，所以又叫sigmoid曲线（S型曲线）。（摘自百度文库）logistic方程即微分方程：(摘自百度百科)众所周知，人口增长呈现指数型增长，但人口是会受到环境最大容纳量、政策变化、经济发展、科技进步等的影响，因此这些影响因素都成为一种阻滞作用，而人口越接近最大值，这种阻滞作用就越大，所以，我们在数值微分和最小二乘法曲线拟合的基础上对Logistic数学模型进行了参数估计，此方

5、法对许多事物如经济、生物种群、医疗卫生的发展和预测具有很大的应用价值。只要满足指数增长的事物（S型曲线），就可以使用这种预测方法。1.2logistic模型建立首先，我们不妨设时刻t的人口总量为x(t)，并将x(t)看作连续、可微的函数。记初始时刻(t=0)的人口为x0。规定人口的增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t)。我们考虑t到t+∆t时间内人口的增量，则有xt+∆t-xt=rxt∆t(1)-21-令∆t→0，则得到x(t)满足如下的微分方程dxdt=rx,x0=x0(2)对人口的阻滞体现在对r的影响上，表现为r随着人口数量x的增加而

6、下降．我们不妨把人口的增长率r表示为关于人口数量x的函数r(x)，显而易见r(x)为减函数，于是(2)式可写为dxdt=r(x)x,x0=x0(3)设r(x)是x的线性函数，即rx=r-sx(r>0,s>0)(4)此时r表示当人口数目比较少时(理论上设x=0)的增长率，就是假设此时的人口是不受自然资源等限制的固有增长率。我们要明确参数s的含义，可以引入最大人口环境容纳量xm,即我国在现在及未来国情下所能容纳的最大人口数量。则当x=xm时，人口达到最大，此时人口增长率为0,即增长率rxm=r-sxm=0从而得到s=rxm，于是(4)式可改写为rx=r(1-xxm

7、)(5)将(5)代入(3)得如下的Logistic模型dxdt=rx1-xxm,x0=x0(6)由分离变量法得方程（6）的通解xxm-x=cⅇrt。利用初始条件得c=x0xm-x0。把c代入通解并简化得-21-xt=xm1+xmx0-1e-rt。(7)(7)式可简写为x=xm1+ae-bt，(8)其中a=xmx0-1,b=r。从(8)式可以看出要想预测出人口数量，需求出参数xm，r或a、b的值。我们采用最小二乘法求Exm,r=i=1nxm1+xmx0-1ⅇ-rt-yi2的最小值，通过求∂E∂xm，∂E∂r并令它们等于零，利用Matlab软件进行处理可以估算xm

8、，r的值，并对解取倒数，得到1x=1x