3.6 勾股定理

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1、勾股定理本课内容本节内容3.61.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图3-79所示，试量出它的斜边c的长度.探究b=4ACc=?我量的为5cm.Ba=32.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图3-80，那么这三个正方形的面积有什么关系呢？3.是否对于所有的直角三角形，它的三边之间都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？其中图(甲)中的大正方形的面积为，图(乙)中的大正方形的面积为，容易看出图(甲)和图(乙)中的两个大

2、正方形面积是相等的.于是有即结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.直角三角形的性质定理：结论其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的这个性质；由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质称为勾股定理.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.因此根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三边的长.小提示做一做如图3-84，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm.（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？图3-84证明：因为在等腰三角形ACB中，AD是BC边上的高，AB=AC，

3、BC=10cm，所以BD=DC=5cm，即，在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.(直角三角形性质定理)所以AD=12.所以AD的高为12cm.（2）△ABC的面积是多少呢？图3-84解：因为三角形ACB中，面积=底×高÷2，即10×12÷2=60.所以△ABC的面积是60cm2.练习1.你能不能只用图3-83(乙)来证明勾股定理吗？图3-83(乙)证明：图(乙)中的大正方形的边长为a+b，其面积为四个直角三角形与正方形C的面积之和，即，化简得a2+b2=c2，勾股定理得证.2.图3-85是一个边长为3的正方形，两条对角线AC与BD相交于O.观察此图形并回答下面问题：（1）对角

4、线AC有多长呢？(精确到小数点后面第二位)（2）图中有多少个直角三角形？图3-85答：4.24答：有8个直角三角形.3.有一颗树较高(如图3-86)，无法直接量出它的高度.可以先用测角器在离树底部不远处的地面上找一点B，使此时测得树顶点A的仰角为60°，再用皮尺测得BC之间的距离为a，由此你能得出这棵树的高度吗？图3-86证明：在Rt△ABC中，∠ABC=60°，可知∠BAC=30°，由于BC=a，因此有AB=2a，再由勾股定理可得将a的具体数值代入，即可求得树高AC的近似值.如图3-87，已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？探

5、究图3-87你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b，斜边为c吗？可以画一个，使∠C′=90°，，，如图3-88.根据勾股定理，因为a2+b2=c2，所以于是斜边图3-88图3-87图3-88在△ABC和中，因为，，，所以△ABC≌(SSS)于是(全等三角形的对应角相等)所以△ABC是直角三角形.结论如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.直角三角形的判定定理：举例例1如图3-89，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AC=17.求DC的长.图3-89先根据直角三角形判定定理再根据勾股定理解：在△ABD中，已知AB=10，BD=6

6、，AD=8，根62+82=102，即AD2+BD2=AB2.所以∠ADB=90°，()∠ADC=180°-∠ADB=90°.在Rt△ADC中，根据勾股定理，可得DC2=AC2-AD2，所以图3-89直角三角形判定定理练习1.已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25.答：是.答：不是.2.某地有A，B，C三个村，建立了直角坐标系后，它们的坐标分别为：A(1，0)，B(4，0)，C(1，4)，现要建立一所希望小学，要求学校到三村的距离相等.你能在图3-90中根据这一要求确定学校的地址吗？图3-90答：建在BC的

7、中点.举例例2如图3-91，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？图3-91′证明：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，由勾股定理得，在中，，，故，从而A′A=3.87-3.71=0.16.即梯子顶端A只向上移动了0.16m，而不是移动0.5m.图3-91′C举例例3(我国古代数学问题)有一