一类更新风险过程破产概率

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1、编号2010212007毕业论文（2014届本科）题目:一类更新风险过程的破产概率学院:数学与统计学院专业:数学与应用数学作者姓名:张锐指导教师:康殿统职称:副教授完成日期:2014年5月16日二○一四年五月7一类更新风险过程的破产概率张锐指导教师:康殿统（河西学院数学与应用数学专业2014届2班52号，甘肃张掖734000）摘要本文在以往对破产概率研究的基础上，对经典破产模型[1]进行了推广．首先，介绍了破产概率产生的背景及其现实意义；其次，简单介绍了经典破产模型及理论；最后，介绍了破产概率模型在经典理论基础上的推广，建立了索赔时间间隔为Gamma

2、分布[2]的破产模型，并得到其初步应用．关键字破产模型；Gamma分布；破产概率中图分类号O212UpdatetheruinprobabilityofriskmanagementprocessZhangRuiInstructorKangDiantong（No．52，Class2of2014，SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics，HexiUniversity，ZhangyeGansu，734000）Abstract:Inthispaper，onthebasisofpreviousresearchonru

3、inprobability，theclassicbankruptcymodelofareextended．Firstofall，thispaperintroducesthebackgroundandpracticalsignificanceoftheruinprobability；Secondly，introducestheclassicalbankruptcymodelandtheory；Finally，thispaperintroducesthebankruptcyprobabilitymodelbasedontheclassicaltheory

4、ofpromotion，setupaclaimtimeintervalforbankruptcymodelofGammadistribution，anditspreliminaryapplication．Keywords:Bankruptcymodel；Gammadistribution；Ruinprobability1引言近几十年来，风险理论发展的十分迅速，出现了各种各样的风险模型，其研究的范围也逐渐扩大，而破产概率的计算与估计一直是风险理论的核心内容，特别对复合泊松模型(CompoundPoissonModel)破产理论的研究已取得了丰硕的成果．

5、本文在经典破产模型[2]的基础上，对模型进行了推广，建立了索赔时间间隔为Gamma分布的破产模型，并得到了破产概率公式．破产论具有代表性的几个研究方向是完全离散经典风险模型的研究[3-5]；重尾部分布破产论的研究[6-7]；具有投资收益破产论的研究[8]；保险数学与金融数学交叉的研究[9-10]；多险种破产概率的研究[11]；具有利息力的破产论的研究[12]等．2预备知识考虑经典的风险模型，设保险公司在时刻的盈余式可表示为:，，(1)式中，为初始资本；为保险公司单位时间征收的保险费率；为第次索赔额；为到时刻为止发生的索赔次数．称（1）式为经典破产模型

6、．7假定1设是恒正的独立同分布于的随机变量序列，记的分布函数为，；数学期望为，；是参数为的过程；与相互独立．记，，它表示到时刻为止的索赔总额．由模型的独立性假定知，保险公司为运作上的安全，要求，．假定2设，其中，称为相对安全负载．由于过程具有平稳独立增量与模型的独立假定，知为平稳独立增量过程．于是由强大数定律知，．但并不能排除在某一瞬时盈余过程可能取负值，这时保险公司“破产”．恒记为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即．Lundberg与Cramer研究的是最终破产概率，．假定3假设个体索赔额的矩母函数．(2)至少在包含原点的某个邻域内存在，并

7、且下述方程．(3)存在正解．由于在其收敛域内是严格增加的凸函数，故方程（3）若有正解，则必是唯一的，记为，并称之为调节系数．若调节系数存在，则易推知它也是如下方程（4）、（5）的唯一正根:，(4)，(5)这里，是的矩母函数．定理1若上述假定1—3均成立，则有7(1)；(2)Lundberg不等式:，；(3)Lundberg-Cramer近似:存在正常数，使得．注1定理1的详细证明可参考张波，商豪编的《应用随机过程》，在后文中我们将会用到定理1中的Lundberg不等式及其证明．3索赔时间间隔为Gamma分布的破产模型我们对经典破产模型进行推广，对于(

8、1)式中不再是Poisson分布，令是第个索赔到达时刻，是相邻两次索赔到达时间间隔，假定服从参数为，，概率密