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1、一类聚合风险模型及破产概率探究【摘要】风险理论主要利用概率论知识，根据保险经营中的实际问题简化数学模型，给出保费的计算方法和包括破产概率❷首次亏盈等方面的分析。风险模型是对风险理论定量、定性研究的重要方法，风险模型中一类重点问题是对破产概率问题研究，本文在经典风险模型的基础上，研究了一类理赔过程有延迟的聚合风险模型一一整值自回归风险模型（简记为INARCR）,研究了它的数学特征及破产概率问题。【关键词】经典聚合模型INARCR风险模型破产概率一、经典风险模型风险理论主要利用概率论知识，根据保险经营中的实际问题简化数学模型，给出保费的计算方法和包括破
2、产概率、首次亏盈等方面的分析。关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究。对于保险公司而言，破产概率可以作为综合保费和索赔过程的保险公司稳定性的一个指标，是风险管理的一个有用工具，它可以作为保险公司一个十分有用的早期风险的警示手段。早期的破产理论最早是从研究经典风险模型的破产概率开始，以下给出经典的Lundberg-Cramer风险、模型和一些主要结论。经典的Lundberg-Cramer风险模型，亦称为复合Poisson模型，其基本表述如下:U(t)=u+ct-x,t?叟0(1)其中，U(t)为保险人在时刻t的盈余，u?叟0为保险公司的初始资本；c
3、>0为保险公司单位时间内保费的收取率;Nt表示到t时刻为止的索赔次数，｛Nt,t?叟0｝是强度为？姿(？姿>0)的Poisson过程；Xi?叟0为个体索赔额。上述模型满足以下三个假定：(1)个体索赔额过程｛Xi,i?叟0｝是独立同分布的随机变量序列，记：F(x)=P(Xi?燮x)?^x?叟0u=E[Xl]=[l-F(x)]dx｛N(t)；t?叟0｝是以？姿为参数的Poissonit程；｛Xi；i?叟0｝与｛Nt；t?叟0｝相互独立。盈余过程｛U(t)；t?叟0｝的一条样本轨道如图1。记S(t)二X表示到时刻t为止的索赔总额,?^x?叟0,它表示时刻
4、t为止发生的理赔总额。同时有：E[S(t)]=E[N(t)]E[X1]=?姿uto为确保保险公司稳定经营，通常要求：ct-E[S(t)]=(c-?姿u)t>0；t?叟0(2)设c二(1+?兹)？姿u,其中？兹>0,则称？兹为相对安全负载。(3)要求个体索赔额的矩母函数：Mx(r)=E[e]=edF(x)=l+re[l-F(x)]dx(2)至少在包含原点临域内存在，并且要求方程Mx(r)=l+r具有正解。关于经典风险模型，有如下几个重要结果：?鬃(0)=(3)?鬃(u)?燮e-Ru(式称为Lundberg不等式)(4)存在常数c,使得：?鬃(u)~c
5、e-Ru,U—00(5)上式称为Cramer-Lundberg近似。经典风险模型很好的解决了单险种经典模型的破产概率问题，同时给出了初始资本为0或理赔额分布为指数分布时的破产概率的精确表达式，并对初始资本为u时的破产概率进行了估计，给出了著名的Lundberg不等式和Cramer-Lundberg近似，该模型成为风险理论中经常使用的模型，但是经典风险模型本身有许多缺陷，它只考虑单一险种的风险过程，不考虑公司实际上的多险种经营和新险种的开发等。为了使模型更贴近实际，近年来，很多人在经典风险模型基础上进行了推广。二、预备知识定义1：设X,Y是两个相互独
6、立的随机变量，它们的分布函数分别是F(X),H(Y),则Z=X+Y的分布函数是：Q(Z)二P(Z?燮z)二dF(x)dH(Y)(z-x)dF(x)二F?鄢H(6)称为F(X),H(Y)的卷积,记作Q二F?鄢H。设XI,X2,…，Xn是独立同分布的随机变量，Fl(X)(1=1,2,…，n)是Xi的分布函数，令X二XI,X2,…，Xn,假设N二0时，S=0；Xi与N相互独立，称S为随机和，N为求和次数。于是有：(1)E(S)=E(N)・E(X)(2)Var(S)二Var(N)(E(X))2+E(n)Var(X)(7)证明：设随机变量N的矩母函数为m(r
7、),m(r)=e.P。因为XI,X2,…，Xn独立同分布，所以有相同的矩母函数，记为：M(r)=E[erx]=ferxdF(x)o设随机变量和的矩母函数为MS(r),则有：Ms(r)二E(erS)二E[E(erSIN)]=E[(M(r))N]=m(logM(r))(8)对上式两端求导，则有:WS(r)=m"(logM(r)).,令r二0,则M，S(0)二nf(0)M，(0),所以Var(S)=E(S)=E(N)・E(X),(1)证完毕。对(3)两次求导：M”S(r)=mv(logM(r))・+n/(logM(r))・令r二0,M”S(0)二M”(0
8、)・[M，(r)]2+m,(0).[M”(0)一[M'(0)]2,即：E(S2)=E(N2)・[E(X)]2+E(N).V
