一类盈余过程的破产概率及其应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2004年6月应用数学与计算数学学报第18卷第1期June，2004COMM．ONAPPL．MATH．ANDCOMPUTV01．18NO．1一类盈余过程的破产概率及其应用杨亚松汪荣明华东师范大学统计系，上海，200062摘要：本文给出了复合Poisson盈余过程在其个体理赔量服从两个指数分布的混合分布时破产概率的显示解，并研究了此情形下破产概率的Lundberg界．作为应用，给出了一种计算一般复合Poisson盈余过程破产概率的近似方法．关键词：盈余过程；破产概率；Lundberg界

2、；矩拟合1．引言在经典破产理论中，破产概率只有在特殊条件下才有显示解，比如当个体理赔量服从指数分布时其结果非常简洁；而当个体理赔量服从多个指数分布的混合分布时则要复杂得多，f11中给出的部分分式法是一种普遍适用的算法，但没有显示解．本文将研究个体理赔量服从两个指数分布的混合分布的复合Poisson盈余过程，给出其破产概率的精确解．正是由于破产概率的复杂性，因而研究破产概率的近似算法具有重要意义．作为本文主要结果的一个应用，最后通过矩拟合给出了一种计算一般Poisson盈余过程破产概率的近似方法．本文结构如下，第二节给出模型和主要结

3、果，第三节研究Lundberg界，第四节为第二节结果的一个应用．2．模型描述及主要结果考虑复合Poisson盈余过程：x(t)()=+ct一∑，t≥0，z==1其中各参数定义如下：=u(0)≥0为初始盈余；C>0是连续收取的单位时间的保费；N(t)表示时刻之前所发生的总理赔次数，它是一个参数为的Poisson过程，即N(t)：11"1~X{：W1+W2+⋯+}，这里(=l，2，⋯，佗)独立同分布，共同分布为参数为的指数分布，表示第i一1次理赔和第次理赔之间的等待时间；{，i1}独立同分布，并且与N(t)独立，表示每次理赔的理赔量，

4、在本文模型下，假设其分布函数为F(y)：1一pe_。。Y—qe～Y．Y≥0，P+q=1，P，q>0，b>a>0．此本文2003年5月22日收到．国家社会科学基金(项目批准号：03BTJ006)和国家自然科学基金(项目批准号：70271001)资助课题维普资讯http://www.cqvip.com2应用数学与计算数学学报18卷Ⅳn)外，记s(t)=∑—ct，表示在时间区间(0，t]内理赔额和保费收入之间的差额；i1L=maxS(t)称为最大总损失；令T=inf{t：t0，(t)<0)，称为破产时刻；，()=Pr(t<。。)=Pr(

5、>)称为破产概率；0=一1称为相对安全负荷．本文恒设C>，从而>0，此时(0)=而1；=E[rd=p／a+q／6，=E，=2，3命题1方程+cr=(+)存在三个根，其中一个为0，另外两个为不相等的正根．分别记这两个正根为rl，r2(本文恒设7"1

6、b)A／c]=f(2qa+2pb—a—b)+A／c]+4(a一6)。Pq>0，因而该方程存在不等的两根r1，1,2．再由韦达定理有：r1+r2=n+6一一AC=n一=a+b-=a+b-，一(qa+p6)害=ab-(qa+pb)0，。D，由此及a

7、维普资讯http://www.cqvip.com1期杨亚松，汪荣明：一类盈余过程的破产概率及其应用3证明约足()=l，0．则x’丁仕葸z>0)：Pr(存在，使一<。)。。oo：e一sPr(存在>。，使得z+一<。}：s，：)dFc：9~o~Ae-xs。。(x+cs-y)~e-告一z。。(：s一)dF()ds(3)对上式求导可得C(z)=()一／o()．，(—)d一[1一F()]，(4)绽隶导可得C)：)一厂()．厂(—z)dz一()．厂(0)+I(x)(5)AJ0C，，，(z)：，，()一厂／、J0由(6)+(a+b)×(5)+a

8、b×(3)可得()+(a+b—／c)()+[ab一(qa+pb)A／c]~)：0(7)式的通解具有形式()=Cie—n+C2e。+C3e”，其中rl，r2，r3是特征方程r3一a+b～x／o)~+【ab一(q0+pb)A／c]r=0的根．显然，r=