微积分第二章-函数极限与连续答案

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1、函数极限与连续函数的性质习题解答1．用函数极限的定义证明：（1）证明：欲使易见当时，有于是，只要即时，有成立。取故对对有，即（2）证明：要使不等式成立，解得取，于是有即（3）。证明：2.求下列极限：(1)解：或：(2)解：(3)解：(4)解：3.求解下列各题：(1)已知极限，确定与.解：已知成立，从而解得当时，极限不存在，于是(2)讨论极限是否存在？解：在点的左右两侧附近，当时有于是有=当（限定）时，有故由夹逼定理得从而有即所以不存在。4．证明下列各题：（1）设利用求证：证明：不妨设则有注意到故由夹逼定理知（2）证明在上一致连续.证明：对有从而在上一致连续。又在连续，从而在

2、上一致连续。故在上一致连续。（3）证明在上不一致连续.证明：取其中正整数充分大使得则有所以在上不一致连续.5.试举出定义在上的函数的例子，使仅在三点处连续，而其余的点都是的第二类间断点。解：令，其中为狄利克雷函数，在点附近，易见有界，故有，即f在x=点连续。类似可证f在x=1，2点连续。另一方面，，取有理点列有取无理点列有所以在点不存在左右极限，故以为其第二类间断点.6.求证：方程有且仅有一个根.证明：考虑因为所以使得又所以使得由零点存在定理，使得，即.由，对因为，有即函数是单调递增的，因此只有一个根.7.设在上连续，对，总存在使得求证：至少存在一点使得证明：用反证法.如果

3、函数在上没有零点，则函数在上也没有零点,所以.因为在上连续，根据闭区间上连续函数的性质，必存在最小值，即存在点使得由题设条件知，在内存在使得这与是最小值矛盾，所以函数在上至少有一个零点。直接法：取，根据题中条件，存在，使得（假设）；类似地，存在，使得（假设）。依次下去，存在，满足存（假设），易知。因为数列有界，所以存在收敛子列，记，则，因为函数在处连续，所以。8．设且有界，若，则,，，使得.证明：使得，取，则，使得.由于，根据介值定理可知，使得.9.设证明：函数在上一致连续当且仅当函数在上一致连续。证明：先设在一致连续。因为所以因为在一致连续，所以因为在一致连续，所以令，若

4、则只有两种可能：1）从而因为2）从而因为所以综上所述，可知函数在上一致连续。再设在一致连续。因为所以由上面的论述可知，函数在上一致连续。10．证明：函数在区间上一致连续的充要条件是对区间上的任何两个数列与，当时，有.并证明函数在上非一致连续.证明：“”.设函数在区间上一致连续，即有又知，对上述有从而有即.“”.用反证法.假设在上非一致连续，即有取有取有取有从而在区间上构造出两个数列与.显然，但,与已知条件矛盾.故函数在区间上一致连续.根据上述一致连续的必要充分条件，有函数在区间非一致连续的充要条件是在区间上存在某两个数列与，当时，有.下面证明函数在上非一致连续.证明：设这样

5、在上构造出两个数列与，有但是.故函数在上非一致连续.11．设函数在区间连续并有界。证明：对于任意的数，可以找到序列满足，且。证明：令。（1）若存在，使得对任给的，都有（或）。如果T≥0，取xn=M+nT，此时xn≥M，xn+1=xn+T，f(xn+1)-f(xn)=f(xn+T)-f(xn)=g(xn)≥0则数列f(xn)单调递增；如果T<0，取xn=M-nT，此时xn≥M，xn+1=xn-T，f(xn-1)-f(xn)=f(xn+T)-f(xn)=g(xn)≥0则数列f(xn)单调递减。两种情况下都有数列f(xn)单调，且由条件f(x)连续有界，所以数列f(xn)单调有界

6、必收敛，则1）若任给M>0，都存在y1,y2≥M，不妨设y1>y2，满足g(y1)g(y2)<0则由零点存在定理，存在令M=1,2,…我们找到了数列{xM}满足g(xM)=f(xM+T)-f(xM)=0，且xM≥M即，且。