随机函数变量的分布

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1、２．离散型随机变量函数的分布１．问题的提出3.6随机变量函数的分布3．连续型随机变量函数的分布4．小结一、问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=的分布.比如，已知圆轴截面直径d的分布，设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？下面进行讨论.这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.二、离散型随机变量函数的分布解：当X取值1，2，5时，Y取对应值5，7，13，例1设X求Y=2X+3的概率函数.～而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两

2、者具有相同的概率.故如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般地，若X是离散型r.v，X的分布律为X～则Y=g(X)～如：X～则Y=X2的分布律为：Y～设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X-1)2的分布律.pkX-10120.20.30.10.4解:Y有可能取的值为0，1，4.且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,练习同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10

3、.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2三、连续型随机变量函数的分布解题思路分布函数法设随机变量X具有概率密度：试求Y=2X+8的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8的分布函数FY(y)：例2整理得Y=2X+8的概率密度为：整理得Y=2X+8的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式例3设随机变量服从正态分布，求的密度函数.解设Y的分布函数为，则上式两端对y求导，得Y的密度函数即，称Y为X的标准化随机变量。设随机变量服从正态分布，则也服从正态分布，只是参

4、数可能不同。设随机变量X具有概率密度求Y=X2的概率密度.解：(1)先求Y=X2的分布函数FY(y)：例4例如,设X~N(0,1),其概率密度为：则Y=X2的概率密度为：2.公式法上面介绍的分布函数法是求连续型随机变量的函数的概率密度的一般方法.而对于函数是严格单调的情形,可用公式直接求的概率密度.定理设X~fX(x)，y=g(x)是x的严格单调函数，记x=h(y)为y=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:其中区间为的值域.例5设求Y=eX的分布.y=ex单调可导,反函数x=h(y)=

5、lny,所以当y>0时,由此得解：四、小结对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件{g(X)≤y}转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用X的分布来求P{g(X)≤y}.这一节我们介绍了随机变量函数的分布.练习题解：1）对于2）当时，