讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

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1、第二章随机变量及其分布第七讲§4连续型随机变量连续型随机变量（续）及及其概率密度随机变量的函数的分布3.三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度1,axb,f(x)ba(4.5)0,其它,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b).X的分布函数为0,xa,xaF(x),axb,(4.6)ba1,xb.（2）指数分布设连续型随机变量X的概率密度为1x/e,x0,f(x)(4.7)0,其它,f(x)其中>0为常数,则称X服从参数为的指3=1/3数分布.2容易得到X的分布函数为1=1=2O123xx/1e,x0,F(x)(4.8)0,其

2、它.如X服从指数分布,则任给s,t>0,有1/10P{X>s+t

3、X>s}=P{X>t}(4.9)事实上P{(Xst)(Xs)}P{Xst

4、Xs}P{Xs}(st)P{Xst}1F(st)et/es/P{Xs}1F(s)eP{Xt}.性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X的概率密度为f(x)的图形:2(x)f(x)12f(x)e2,x,(4.10)=5=52其中,(>0)为常数,则称X服从参数为Ox,的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为2X~N(,).f(x)显然f(x)0,下面来证明0.50.798f(

5、x)dx110.3991.5令(x)/t,得到0.266()22xt121Ox22edxedx22222t/22(tu)/2记Iedt,则有Iedtdu,转换为极坐标,得2r222Iredrd2π(4.11)002(x)t212122于是edxedx1.22f(x)具有的性质:2/10（1）.曲线关于x=对称.这表明对于任意h>0有P{-h

6、)edt,(4.12)2π特别:当=0,=1时称X服从标准正态分F(x)布.其概率密度和分布函数分别用(x)和1(x)表示,即有0.512x/2Ox(x)e,(4.13)21x2t/2(x)edt.(4.14)2π易知(-x)=1-(x)(4.15)人们已经编制了(x)的函数表,可供查用(见附表2).2X引理若X~N(,),则Z~N(0,1)3/10X证明：Z的分布函数为XP{Zx}PxP{Xx}2(t)1x22edt,2πt令u,得1x2u/2P{Zx}edu(x),2π由此知Z~N(0,1).2若X~N(,),则它的分布函数F(x)可写成:F(x)P{Xx}XxP{}(

7、4.16)x()则对于任意区间(x1,x2],有x1Xx2P{x1Xx2}Px2x1.(4.17)例如,设X~N(1,4),查表得1.6101P{0X1.6}22(0.3)(0.5)0.6179[1(0.5)]0.617910.69150.3094.2设X~N(,),由(x)的函数表还能得到:322368.26%P{

8、.这就是人们所谈的"3"法则.例１将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器整定在d°C,液体的温度X(以°C计)是一个随机变量,且2X~N(d,0.5).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?解(1)所求概率为X908990P{X89}P(2)0.50.51(2)10.97720.0228.(2)按题意需求d满足Xd80d0.99P{X80}P0.50.5Xd80d80d1P10.50.50.580d10.991(2.327)(2.327),0.580d亦即2.327.0.5故需d81.16

9、35.设X~N(0,1),若za满足条件5/10P{X>za}=a,0