第七讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布.doc

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1、第七讲连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3.三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b). X的分布函数为（2）指数分布设连续型随机变量X的概率密度为其中>0为常数,则称X服从参数为的指数分布.容易得到X的分布函数为 如X服从指数分布,则任给s,t>0,第二章随机变量及其分布§4连续型随机变量及其概率密度有P{X>s+t

2、X>s}=P{X>t}(4.9)事实上性质(4.9)称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X的概率密度为其中,(>0)为常

3、数,则称X服从参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为X~N(,). 显然f(x)0,下面来证明令,得到f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=对称.这表明对于任意h>0有P{-h

4、,),则证明：由此知Z~N(0,1).若X~N(,),则它的分布函数F(x)可写成:则对于任意区间(x1,x2],有 例如,设X~N(1,4),查表得设X~N(,),由(x)的函数表还能得到:P{

5、90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d至少为多少?解(1)所求概率为(2)按题意需求d满足设X~N(0,1),若za满足条件P{X>za}=a,0

6、随机变量X具有概率密度求变量Y=2X+8的概率密度.解：分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).下面先来求FY(y). 将FY(y)关于y求导数,§5随机变量的函数的分布在实际中经常对某些随机变量的函数更感兴趣.例如,在一些试验中,所关心的随机变量往往不能由直接测量得到,而它却是某个能直接测量的随机变量的函数.比如我们能测量圆轴的直径d,而关系的却是截面积A=pd2/4.这里,随机变量A是随机变量d的函数.下面讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g()是已知的连续函数)的概率分布.得Y=2X+8的概率密度为例３设随机变量X具有概率密度fX(x),

7、,求Y=X2的概率密度.解分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).由于Y=X20,故当y0时FY(y)=0.当y>0时有将FY(y)关于y求导数,即得Y的概率密度为例３结论的应用：设X~N(0,1),其概率密度为则Y=X2的概率密度为（5.1）此时称Y服从自由度为1的分布.(特注：y=0时概率为零，但并非不可能事件。)定理设随机变量X具有概率密度fX(x),,又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0),则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为其中=min(g(),g()),=max(g(),g()),h(y)是g(x)的反函数.证先设g'(x)

8、>0.此时g(x)在(，)严格单调增加,它的反函数h(y)存在,且在()严格单调增加,可导.分别记X,Y的分布函数为FX(x),FY(y).因Y在()取值,故当时,FY(y)=P{Yy}=0;当y时,FY(y)=P{Yy}=1.当时,FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y}=P{Xh(y)}=FX[h(y)].将FY(y)关于y求导数,即得Y的概率密度对于g'(x)<0的情况同样可以证明,有合并(5.3),(5.4)式，命题得证。当g'(x)<0时,g(x)在(，)严