讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布

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1、-第七讲连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3.三种重要的连续型随机变量（1）均匀分布设连续型随机变量X具有概率密度1,axb,f(x)ba(4.5)0,其它,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b).X的分布函数为0,xa,F(x)xa,axb,(4.6)ba1,xb.（2）指数分布设连续型随机变量X的概率密度为f(x)1ex/,x0,(4.7)0,其它,其中>0为常数,则称X服从参数为的指数分布.容易得到X的分布函数为1ex/,x0,F(x)(4.8)0,其它.如X服从指数分布,则任

2、给s,t>0,有第二章随机变量及其分布§4连续型随机变量及其概率密度f(x)3=1/32=11=2O123x----1/10--P{X>s+t

3、X>s}=P{X>t}(4.9)事实上--P{Xst

4、Xs}P{(XP{Xst}1F(st)P{Xs}1F(s)P{Xt}.st)(Xs)}P{Xs}e(st)et/es/--性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.（3）正态分布设连续型随机变量X的概率密度为1(x)2e22f(x),x,(4.10)2其中,(>0)为常数,则称X服从

5、参数为,的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为f(x)的图形:f(x)=5=5Ox--X~N(,2).--显然f(x)0,下面来证明f(x)0.50.798--f(x)dx11令(x)/t,得到0.3991.50.2661(x)21t2Ox2e2dxe2dx22记Iet2/2dt,则有I2e(t2u2)/2dtdu,转换为极坐标,得22r2I2drd2π(4.11)0re01(x)21t2--于是e22dxe2dx1.22f(x)具有的性质:--2/10--（1）.曲线关于x=对称.这表明对于任意h>0有

6、P{-h

7、见附表2).引理若X~N(,2),则ZX~N(0,1)--F(x)10.5Ox--3/10--X的分布函数为证明：ZP{Zx}PXxP{Xx}1x(t)222edt,2π令t,得uP{Zx}1xu2/2(x),edu2π由此知Z~N(0,1).若X~N(,2),则它的分布函数F(x)可写成:F(x)P{Xx}P{Xx}(4.16)(x)则对于任意区间(x1,x2],有P{x1Xx2}Px1Xx2x2x1.(4.17)例如,设X~N(1,4),查表得P{0X1.61011.6}22(0.3)(0.5)0.617

8、9[1(0.5)]0.617910.69150.3094.设X~N(,2),由(x)的函数表还能得到:3223--P{

9、(以°C计)是一个随机变量,且2X~N(d,0.5).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80解(1)所求概率为X908990P{X89}P(2)0.50.51(2)10.97720.0228.(2)按题意需求d满足0.99P{X80}PXd80d0.50.51PXd80d180d0.50.50.580d10.991(2.327)(2.327),0.5亦即80d2.327.0.5故需d81.1635.--设X~N(0,1),若za满足条件--5/10--P{X>z}=a,0

10、<1,(4.18)a则称点za为标准正态分布的上a分位点.由--(x)的对称性知z1-a=-za常用的几个za值：0.0010.0050.010.0250.050.10z3.0902.5762.3271.9601.6451.28--z（课间休息）随机变量的函数的分布例１设随机变量X具有以下的分布律,试求Y=(X-1)2的分布律.X1012pk0.20.30.10.4解Y所有可能值为0