单服务员排队模型及其蒙特卡洛模拟

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1、计算机应用张建航等:单服务员排队模型及其蒙特卡洛模拟单服务员排队模型及其蒙特卡洛模拟张建航,李宗成,宋晓峰(西安通信学院陕西西安710106)摘要:单服务员的排队模型(M/M/1模型)是排队论中重要的排队系统。介绍排队论的基本概念,讨论和研究单服务员排队模型的过程和基本原理,通过数学计算得出单服务员排队模型中重要的运行指标。针对典型实例,借助于计算机软件包Matlab6.5进行了蒙特卡洛模拟。关键词:单服务员排队模型;Matlab6.5;蒙特卡洛方法;排队论中图分类号:O226;TP311.12文献标识码:B文章编号:1004373X(2006)2404402M

2、/M/1ModelandtheSolvingbyUsingtheMonteCarloMethodZHANGJianhang,LIZongcheng,SONGXiaofeng(Xi′anCommunicationInstitute,Xi′an,710106,China)Abstract:M/M/1modelistheimportantqueuesystemofqueuingtheory.Thebasicconceptionsofqueuingtheoryarein2troduced.ThebasicprinciplesandprocessesofM/M/1mode

3、larediscussedandstudied.Wehavedrawntheimportantopera2tionindexformulasinM/M/1modelbymathematicalcalculating.WiththehelpofcomputersoftwareMatlab6.5,atypicalexampleissolvedbyusingtheMonteCarlomethod.Keywords:M/M/1model;Matlab6.5;MonteCarlomethod;queuingtheory(2)排队规则:单队且对队长没有限制,先到先服务。1引

4、言(3)服务机构:单服务台,各顾客的服务时间是相互排队论(queuingtheory)也称为随机服务系统理论。独立的,服从相同的负指数分布。随机服务系统是指对随机发生的需求提供服务的系统。此外,还假定到达间隔时间和服务时间是相互独现实世界中排队现象比比皆是,如商店购物、轮船进港、病立的。人候诊、银行存取款、机器等待维修、电话等待转接、计算设单位时间内顾客到达数服从参数为λ的Poisson分机数据等待处理等。排队论的内容包罗万象,但都具有布。每位顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布。于3个共同特征:是在[t,t+Δt]时间区间内分为:(1)有请求服务的人和物,如

5、候诊的病人,称之为“顾(1)顾客到达数服从参数为λΔt的Poisson分布,故在客”。该区间内有一个顾客到达的概率为λΔtexp{-λΔt}=λΔt(2)有为顾客提供服务的人和物,如医生,称之为“服+O(Δt);没有顾客到达的概率是1-λΔt-O(Δt);务员”。(2)设顾客接受服务时间为T,则在该区间内有一个(3)顾客到来的时刻及需要服务的时间均是随机的。顾客接受完服务离去的概率为:排队论的主要任务是,建立数学模型描述排队系统的P(T≤τ+ΔTT>τ)=1-P(T>τ+ΔTT>τ)概率规律性,研究诸如顾客平均的排队时间,排队顾客的=1-P(T>Δt)=1-ex

6、p{-μΔt}=μΔt+O(Δt)平均数、服务员平均接待的顾客等数量规律,为系统的最没有顾客离去的概率为1-μΔt-O(Δt)。优设计和最优控制提供决策依据。(3)多于一个顾客到达或离去的概率为O(Δt),可以忽略。因此,在t+Δt时刻,系统中有n个顾客的概率Pn(t2单服务员的排队模型(M/M/1)+Δt)满足:M/M/1模型是指适合以下3个条件的排队系统:Pn(t+Δt)=Pn(t)(1-λΔt)(1-μΔt)+Pn(t)λΔt·(1)输入过程:顾客源是无限的,顾客单个到来,相互μΔt+Pn+1(t)(1-λΔt)μΔt+Pn-1(t)λΔt(1-μΔt)独

7、立,一定时间的到达数服从普阿松分布(Poisson分布)。=Pn(t)(1-λΔt-μΔt)+Pn+1(t)μΔt+Pn-1(t)λΔt+O(Δt)收稿日期:20060616于是有:44《现代电子技术》2006年第24期总第239期þ嵌入式与单片机üPn(t+Δt)-Pn(t)问题一,模拟一个工作日内完成服务的个数及顾客平Δt均等待时间;=λPn-1(t)+μPn+1(t)-(λ+μ)Pn(t)+O(Δt)问题二,模拟100个工作日,求出每日完成服务的个Δt数及每日顾客的平均等待时间。令Δt→0,得到方程:蒙特卡洛(MonteCarlo)方法是一种应用随机数来d

8、Pn(t)=λP[2]d