多服务台等待制排队模型M_G_c_的蒙特卡洛模拟

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1、第１１卷第１期太原师范学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ．１１Ｎｏ．１２０１２年３月ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＡＩＹＵＡＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｒ．２０１２多服务台等待制排队模型Ｍ／Ｇ／ｃ／∞的蒙特卡洛模拟＊王培勋王志芳（西安财经学院统计学院，陕西西安７１０１００）〔摘要〕文章以排队论为基础，用蒙特卡洛在Ｍａｔｌａｂ上对多服务台等待制排队模型Ｍ／Ｇ／ｃ／∞进

2、行了模拟，得到了系统的一些指标，如系统队长，顾客逗留时间等，并通过两个实例说明了该方法的可行性，为处理此类排队问题提供了一个新的方法．〔关键词〕多服台等待制模型；蒙特卡洛模拟；排队论；动态模拟〔文章编号〕１６７２－２０２７（２０１２）０１－００９５－０４〔中图分类号〕ＴＰ３１１．１〔文献标识码〕Ａ０引言排队论，或称随机服务系统理论，是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出诸如等待时间排队长度，忙期长短等这些数量指标的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统能

3、满足服务对象的需求，又能使机构的费用最经济或某些指标最优，这些指标一般可以通过数学推导得到．但是在实际问题中所碰到的排队问题往往不具有马尔科夫性，这时用数学推导就比较困难．随着计算机技术的发展，运用计算机仿真的方法来研究排队模型已成为解决这类排队问题的有效方法．国内外学者在研究这类问题已经取得了一些成果，如张建航等在论文中给出了单服务台排队模型Ｍ／Ｍ／１／［１］∞的蒙特卡洛模拟，得到了顾客的等待时间和系统队长，李鹏等通过Ｍａｔｌａｂ平台对单服务台有限队长的［２］排队系统进行了仿真，仿真出各个顾客到达时刻

4、与离开时刻曲线，等待时间与停留时间曲线，吴可嘉在［３］Ｅｘｃｅｌ上实现了对单对多服务台的模拟，得出了学校食堂应该再增加一个窗口可以满足服务需求的结论．但是目前对多服务台等待制排队模型Ｍ／Ｇ／ｃ／∞的模拟还是比较少的，本文运用蒙特卡洛模拟方法，研究Ｍ／Ｇ／ｃ／∞模型的仿真算法．１排队论及Ｍ／Ｇ／ｃ／∞模型介绍排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，排队论的排队规则分为３类：损失制、等待制和混合制．其中，损失制是指顾客到达时，如果所有服务台都没有空闲，该顾客不愿等待，就随即从系统

5、消失；等待制是指顾客到达时，如果所有服务台都没有空闲，他们就排队等待；混合制是指既有等待又有损失的情况，如顾客等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留．本文所模拟的是多服务台等待制排队模型Ｍ／Ｇ／ｃ／∞，系统空间是无限的，顾客来源也是无限的，即设系统有ｃ个服务窗口并联排列，各服务窗口独立工作，又各窗口的服务时间服从一般分布Ｇ，假设顾客按参数为λ的泊松分布到达，即顾客到达的间隔服从指数分布，如果顾客到达系统时ｃ个服务窗都忙着，则顾客排队等待，并且假设各个服务窗口工作时相互独立的遵循先到先服务原

6、则，允许永远排队．２随机数的产生１）在各种统计计算中常需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的随机数的产生均基于均匀分布Ｕ（０，１）的随机数，产生随机数的基本方法有三种，逆变换法，合成方法，筛选方法．这里我们用拟变换＊收稿日期：２０１１－１２－２４作者简介：王培勋（１９５６－），男，甘肃岷县人，硕士，西安财经学院统计学院教授，主要从事统计建模研究．９６太原师范学院学报（自然科学版）第１１卷法来产生分布函数的随机数．首先介绍逆变换法．设随机变量Ｘ的分布函数为Ｆ（Ｘ），定义Ｆ－１（ｙ）＝ｉｎｆ｛ｘ：

7、Ｆ（ｘ）≥ｙ｝，０≤ｙ≤１，有如下定理：－１［４］定理设随机变量Ｕ～Ｕ（０，１），则Ｘ＝Ｆ（Ｕ）的分布函数为Ｆ（ｘ）．由此定理我们可以知道要产生来自Ｆ（ｘ）的随机数，只要先产生来自Ｕ（０，１）的随机数ｕ，然后计算－１（ｕ）即可，具体步骤是首先由Ｕ（０，１）抽取ｕ，然后计算ｘ＝Ｆ－１（ｕ），其中Ｆ－１如上诉中定义．当我们得到Ｆ了分布函数的随机数的产生方法以后，我们就可以进行随机模拟了，随机模拟方法也称为蒙特卡洛模拟方法，它是以概率统计理论为基础，利用电子计算机数字模拟技术，解决一些很难直接用数学求解或用其

8、他方法不能解决的问题，它的实质是运用一连串的随机数来模拟可能出现的随机现象．２）仿真系统模拟，设Ｔ为模拟系统的总服务时间，ｔ为时间变量，ｔ１为顾客的到达系统的时间，ｄ为１×ｃ矩阵，第ｊ列记录第ｊ个服务台上顾客的离开的时间，ｔ２＝ｍｉｎ（ｄ），即顾客最早离开服务台的时间，ｎ为在ｔ时刻当前到达系统中的顾客数，Ａ为在ｔ时刻到达系统中的所有顾客总数．设循环变量为ｉ，ｇ（ｉ）记录在一次循环中不同事件发生的时间间隔，ｈ（ｉ）记录在一次循环中系统中的顾客