专题三：函数单调性+奇偶性求法总结

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1、专题三:函数单调性+奇偶性求法总结一、函数单调性题型方法总结：1．定义法①取值：任取，且；②作差：求；③变形：通常是因式分解和配方；④定号：判断差的正负；⑤判断：指出函数在给定的区间上的单调性2．性质法①增增增；增减增；减减减；减增减②与单调性相反③若或，则与单调性相反3．图像法作出函数的图像，若其图像“上升”则为增函数；图像“下降”则为减函数二、单调性的应用1．复合函数的单调性：先求定义域，再利用“同增异减”法则定其单调性2．已知单调性比大小若函数是某区间上的增函数，则时，3．已知单调性求解抽象不等式若函数是某区间上的增函数，则时，4．求函

2、数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。5．单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。在多个单调区间之间不能用“或”和“”连接，只能用逗号隔开。三、方法列举：1、定义法：步骤：一设、二差、三判断。例：证明函数在区间是增函数。解：设，因为函数在区间是增函数。练1:证明函数上是减函数。练2：证明函数在其定义域内是减函数。小结：一般地函数或上为减函数，在上为增函数。一般称为对钩函数。2、图像法：（基本函数，如一次、二次，指数、对数函数等）例、作出函数的图像，并指出的单调区间。练：指出函数的单调区间3、快速判断：复合函

3、数单调性（同增异减）例：求函数的单调区间；解：函数的定义域为，设，在上分别是单调递减和单调递增的，在4上是单调递减的，根据复合函数的单调性得函数在上分别单调递增、单调递减。练：求函数的单调区间。4、分段函数的单调性例：指出函数的单调区间。练：求在R上为单调递增区间，求的取值范围？5：已知函数单调性求参数范围、比大小、求解抽象不等式1．函数在区间上为单调函数，求的取值范围2．奇函数是定义在上的单调减函数，当时，求的取值范围二、函数奇偶性题型方法总结：（一）、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数的定义域内任意一个,定义域关于原点对称：⑴是偶函

4、数；⑵奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。(二)、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；③可逆性：是偶函数；是奇函数；④等价性：；⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；（三）奇偶性题型方法举例：1、函数的奇偶性的判断第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查是否与、相等，判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；②数量关系哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：⑴为奇

5、函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数例2：判断函数的奇偶性。第二种方法：利用已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：1、奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数+偶函数=非奇非偶函数；奇函数*奇函数=偶函数；4偶函数*偶函数=偶函数；奇函数*偶函数=奇函数。2、3、关于函数的奇偶性的9个结论。1、是任意函数，定义域关于原点对称，那么是偶函数。2、已知函数是奇函数，且有定义，则。3、已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在

6、实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。.4、型如f(x)=-f(x+a)（a≠0）则f(x)的周期是2a.5、型如f(x)=1/f(x+a)（a≠0）则f(x)的周期是2a.6、若则的周期为。7、若则的周期。8、定义在R上的f(x)关于（a、0）和（b、0）都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a)是一个周期。9、定义在R上的f(x)关于（a、0）和x=b对称，周期是4

7、a-b

8、2、函数的奇偶性的应用：1、利用奇偶性求函数值例1：（1）已知且，求的值（2）已知的最大值,最小值为,求的值2、利用奇偶性比较大小例2：（1）已知偶函数在上为减函

9、数，比较，，的大小。（2）已知函数是上的偶函数，且在上是减函数，若，求取值范围.（3）定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则A.B.C.D.3.利用奇偶性求解析式例3：（1）已知为偶函数，，求解析式？（2）已知为奇函数，当时,，当时，求解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？5、利用奇偶性判断函数的奇偶性4例5：已知是偶函数，判断的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值例6：（1）定义上的偶函数在单调递减，若恒成立，求的范围.（2）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围.7、利用图像解题例7

10、：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式的解是.8.利用定义解题例8：已知为奇函数，则________已