函数单调性与奇偶性专题

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1、函数单调性和奇偶性专题一．知识点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义：一、函数单调性的定义及性质（1）定义对于给定区间上的函数，如果对任意，当，都有，那么就称在区间上是增函数；当，都有，那么就称在区间上是减函数．与之相等价的定义：⑴，〔或都有〕则说在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点连线的斜率都大于（或小于）0。（2）函数的单调区间如果函数在某个区间上是增函数（或减函数），就说在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做该函数的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则

2、称区间为减区间。单调性反映函数的局部性质。一个函数在区间上都是增函数，但它在区间上不一定是增函数。（3）判断单调函数的方法：①定义法，其步骤为：①在该区间上任取，②作差、化积、定号；②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；④复合函数单调性的根据：设都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性是与单调性相同则是增函数，单调性相反则是减函数。⑤几个与函数单调性相关的结论：（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；（ⅱ）增函数－减函数=

3、增函数；减函数－增函数=减函数。⑥如果在某个区间上是增函数（或减函数），那么..在区间的任11/11意一个子区间上也是增函数（或减函数）。（4）常见一些函数的单调性：①一次函数，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．②反比例函数，当时，在和上都是减函数；当时，在和上都是增函数．③二次函数，当，在上是减函数，在上是增函数；当，在上是增函数，在上是减函数．④当时，和在其定义域内为增函数，当，和在其定义域内为减函数。二、奇偶性①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。②对于函数的定义域内任意

4、一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）一．经典例题剖析：（不带答案版）单调性:例1．（1）函数f(x)＝

5、x－2

6、x的单调减区间是______.（2）函数的单调区间_______；变式：（1）函数的单调区间为（2）设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．例2：（1）函数在上单调递减，则实数的范围_______；（2）函数

7、在上单调递增，则实数的范围_________。11/11变式：（1）已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是________.例3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则,,之间的大小关系是_______.例4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a

8、－2,2]的最大值等于______.例5：（1）用定义证明在上是减函数。变式：用定义证明函数在上的单调性。例6：已知函数，常数）．若函数在上为增函数，求的取值范围．变式：已知函数在区间上是增函数，求实数的范围。例7：设函数，判断在其定义域上的单调性。例8：求（且）的单调区间。例9：设为实数，函数，，求的最小值．奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）（4）（5）变式：判断函数的奇偶性①②③④⑤⑥⑦例2：已知是偶函数，时，，求时的解析式.变式：已知是奇函数，是偶函数，且，求、.例3：若是偶函数，且在上增函数，又，求的

9、解集。11/11例4：（1）定义在上的奇函数是减函数，解关于的不等式：。（2）定义在上的偶函数在上单调递减，且成立，求的取值范围。变式：（1）定义在上的偶函数，上为增函数，且成立，求的取值范围。（2）定义在上的奇函数是减函数，且成立，求的取值范围。例5：已知函数对任意都有，并且当时，。（1）求证：在上是增函数；（2）若,求满足条件的实数的取值范围。变式：（1）设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数。试判断函数在区间上的单调性，并给予证明。（2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上

10、单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的取值范围是___________.例6：已知函数f（x）=x++m（p≠0）是奇函数，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.变式：设为实数，函数。（1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值一．经