函数单调性、奇偶性总结

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1、（一）函数单调性1.增函数、减函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数.注意：求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.2、增、减函数的性质：增函数：减函数：式子的变形：设那么上是增函数；上是减函数.3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1)、取值：设任意两个实数有，∈D，且；2)、作差：；3)、变形：通常方法：因式分解；配方；分母有理化

2、；4)、定号：即判断差的正负；5)、下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性．取值→作差→变形→定号→下结论例：证明函数在R上是增函数.一些重要函数的单调性：1、一次函数的图象y=kx+b的单调性：（1）当k>0时，函数在R上是增函数（2）当k<0时，函数在R上是减函数2、反比例函数的图象的单调性：（1）当k>0时，函数在上是减函数（2）当k<0时，函数在上是增函数3、二次函数的图象的单调性（1）当a>0时，函数在上是减函数,在上是增函数（2）当a<0时，函数在上是增函数,在上是减函数例题：已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x

3、取值范围是:()变式：二次函数的基本性质例1、函数在[1，2]上是单调递增函数，则实数的取值范围是_________二、两个函数和差乘除单调性和复合函数的单调性1、如果函数f(x)在区间D上是增（减）函数，函数g(x)在区间D上是增(减)函数；函数F(x)=f(x)+g(x)在D上为增(减)函数。归纳为：同加，单调性不变2、对于复合函数的单调性，必须考虑和的单调性，从而得到的单调性。1）增增复合函数增2）减减复合函数增1）增减复合函数减2）减增复合函数减归纳为：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定

4、义域的某个区间。函数的奇偶性的归纳总结一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、既是奇又是偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函

5、数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

6、的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y=f[g(x)]是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或〕函数f（x）是偶函数；对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或函数f（x）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较与的关系。③、扣定义，下结论。⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，

7、⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。③若为偶函数，则。二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1).(2)解：(1)函数的定义域是，∵，∴，∴为偶函数。(2)函数的定义域为R当时，当时，当时，综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。练习题:一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A．y=2x＋1B．y=3x2＋1C．y=D．y=2x2＋x＋12．函数f(x)=4x2－mx＋5在区

8、间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于（）A．－7B．1C．17D．253．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）A．