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时间:2019-06-16
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1、●基础知识一、空间角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.这些角都是通过两条射线所成的角来定义的,因而这些角都可以看成是角的概念在空间的拓广,三种角的计算方法,都是转化为平面内线与线所成的角来计算的.确切地说,是“化归”到一个三角形中,通过解三角形求其大小.由于引入了空间向量,三种角的计算除以上方法外,还可考虑采用向量方法进行处理.二、三种角的概念、取值范围及作法(1)异面直线所成的角:在空间取一点O,过O点分别作两异面直线的线所成的叫做两条异面直线所成的角.其取值范围为(0,].作法
2、:平移法.(2)直线和平面所成的角:如果直线平行平面或在平面内,则它和平面所成的角的大小为;如果直线垂直于平面,则它和平面所成的角的大小为;如果直线是平面的斜线,则它和它在平面内的所成的角,称之为直线和平面所成的角.因此,直线和平面所成角的取值范围是[0,].平行锐角或直角0射影锐作法:几何法:引垂线,找垂足,连接垂足、斜足得射影.温馨提示利用几何法求线面角时,可过斜线上一点作已知平面的垂线.若垂足不好作出,则可借助垂面.(3)二面角的平面角:从一条直线出发的两个组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上一点为端点,在
3、两个面内分别作的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.其取值范围为[0,π].半平面任意垂直于棱作二面角的平面角的常用方法有:①定义法:根据定义,以棱上任一点为端点,,则形成二面角的平面角.②三垂线法:从二面角一个面内某个特殊点P,于是∠PBA(或其补角)是二面角的平面角.分别在两个面内作垂直于棱的两条射线作另一个面的垂线,过垂足A作二面角棱的垂线,垂足为B,连结PB,由三垂线定理得PB与棱垂直③垂面法:过二面角的棱上一点作平面与棱垂直,分别与两个面的交线,构成二面角的
4、平面角.常用面积的射影定理来求二面角,即S·cosθ=S射,它的优点是不必作出二面角的平面角.归纳拓展(1)空间角的计算步骤:一找(作),二证,三计算.(2)特别注意三种空间角的取值范围.●易错知识一、找错平面角致误1.如图是三个全等的矩形构成的空间图形,D为AC的中点,若AB1⊥BC1,求二面角D-BC1-C的大小.错解:设BC1∩B1C=O,连结DO,则OD∥AB1,因为AB1⊥BC1,所以OD⊥BC1.而OC是OD在平面B1BCC1内的射影,所以OC⊥BC1,故∠DOC为所求二面角的平面角.所以B1BCC1
5、为正方形.分析:把OC当成OD在平面B1BCC1内的射影,从而找错了平面角.正解:设BC1∩B1C=O,连结OD.因为AB1∥OD,AB1⊥BC1,所以OD⊥BC1.因为BB1⊥BC,BB1⊥AB,AB∩BC=B,所以B1B⊥平面ABC.所以平面ABC⊥平面B1BCC1.过D作DE⊥BC于E,则DE⊥平面B1BC1C.连结OE,由三垂线定理的逆定理得OE⊥BC1.所以∠DOE为二面角D-BC1-C的平面角.设AB=BC=AC=2a,取BC的中点F,连结AF、OF,故AF易知OF⊥BC.在△BOE中,所以∠DOE=
6、45°.故二面角D-BC1-C的大小为45°.二、考虑问题不全面导致错误2.a、b是所成角为80°的异面直线,过空间一点P作直线l.(1)使l与a、b所成的角均为80°,这样的直线l一共有条.(2)若l与a、b所成的角均为50°,这样的直线l一共有条43●回归教材1.(2009·湖北黄冈一模)设直线与平面所成角的大小范围为集合P,二面角的平面角大小范围为集合Q,异面直线所成角的大小范围为集合R,则P、Q、R的关系为()A.R=P⊆QB.R⊆P⊆QC.P⊆R⊆QD.R⊆P=Q解析:因为P=[0,],Q=[0,π],
7、R=(0,],所以R⊆P⊆Q.故选B.答案:B2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线BC1和B1D1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:连接AD1、AB1,∵AB綊A1B1綊C1D1,∴四边形ABC1D1为平行四边形,∴AD1∥BC1,∴∠AD1B1就是BC1和B1D1所成的角或其补角.在△AB1D1中,∵AD1=B1D1=AB1,∴∠AD1B1=60°,∴BC1和B1D1所成的角为60°.答案:C3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与截面BB1D1D所成的角
8、是()A.30°B.45°C.60°D.90°解析:连结A1C1,交B1D1于O1,则B1D1⊥A1C1,又BB1⊥A1C1,∴A1C1⊥平面BB1D1D,连结O1B,则∠C1BO1就是所要求的线面角.设正方体棱长为1,答案:A4.下面所给出的二面角的平面角的几种作法:①如图(1),在棱a上任取一点O,过O点分别在半平面α和半平面β内作OA⊥a,OB⊥a,得∠AOB为所求
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