2010-2011(1)线性代数(A)卷

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1、命题方式：单独命题佛山科学技术学院2010—2011学年第一学期《线性代数》课程期末考试试题（A卷）专业、班级：09级姓名：学号：题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题：（每小题3分，共30分）（1）行列式的元素的代数余子式的值为（）.(A)33(B)-33(C)56(D)-56（2）已知为3阶方阵，则行列式=（）（A）(B)(C)2,(D)（3）设为阶方阵，且，那么（）.（A）或（B）（C）或（D）（4）向量组（）线性无关的充要条件是（）（A）存在不全为零的数，使；（B）所给向量组中任意两个向量都线性无关；（C）所给向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性

2、表示；（D）所给向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.（5）设由个元方程构成的非齐次线性方程组的系数行列式等于零，则此非齐次线性方程组()(A)可能有无穷多解也可能无解(B)无解(C)有无穷多解(D)有唯一解共8页第1页（6）（7）下列结论正确的是（）（A）奇异阵经过若干次初等变换可以化为非奇异矩阵（B）非奇异阵经过若干次初等变换可以化为奇异阵（C）非奇异阵等价于单位阵（D）奇异阵等价于单位阵（8）设是非齐次线性方程组的解，而是对应的齐次线性方程组的解，则（）是的一个解.（A）（B）（C）（D）（9）设方阵与相似，则不一定正确的是（）(A)有相同的特征向量；（B）有相同

3、的行列式；（C）有相同的特征值；（D）同时可逆或不可逆；（10）n阶方阵可相似于对角矩阵的充分必要条件是（）（A）有n个不同的特征值，（B）有n个不同的单位特征向量；（C）有n个不同的特征值；(D)有n个线性无关的特征向量；共8页第2页二、（7分）计算行列式：；.三、（7分）已知3阶方阵的特征值为1,、2、-3，求行列式的值。共8页第3页四、（10分）设非齐次线性方程组的增广矩阵，经初等行变换化为矩阵.则（1）求对应的齐次线性方程组的一个基础解系.（2）为何值时，方程组有解？并求出通解.共8页第4页五、（12分）设有向量组.（1）求矩阵的秩.（2）此向量组是否线性相关？（3）求

4、此向量组的一个极大线性无关组.并将其余的向量用极大线性无关组表出共8页第5页六、（10分）求解矩阵方程，其中.共8页第6页七、（10分）设，求（1）求的全部特征值和特征向量；（2）求正交矩阵，使为对角阵.共8页第7页八、（8分）设方阵满足，，证明：与是可逆矩阵，并且求与.九、（6分）设与相似，证明：与相似。共8页第8页佛山科学技术学院2010～2011学年第一学期《线性代数》课程期末考试试题（A卷）解答及评分标准专业、班级：09材料化学（1）（2）、09化学师范、09应用化学任课教师陈怡一、单项选择题：（每小题3分，共30分）（1）D（2）A（3）C（4）D（5）A（6）B（7

5、）C（8）A（9）A（10）D二、（7分）解（注：按第1行展开）(3分)(5分)(6分).(7分)三、（7分）解：因为，则从而即是的特征值，是的属于的特征向量；（2分）知，是的特征值（4分）因为3阶方阵的特征值为1,、2、-3，所以3阶方阵的特征值为6、、-，（5分）则=6（7分）四、（10分）解：（1）由题目条件和定理知，当时，原方程组有解.(3分)当时，原方程组可化为同解方程组：亦即（可任意取值）(4分)可知，对应的齐次线性方程组的一个基础解系为.(7分)于是得知，原方程组的通解为，(可任意取值).(10分)五、（12分）解对作初等行变换变成行阶梯形矩阵：(1分)(2分).

6、(5分).(6分)于是，得1.(7分)2.因向量个数4，故所给向量组线性相关.(9分)3.所给向量组的一个最大无关组为.(11分)(12分)六、（10分）解把所给方程变形为.(1分)(2分)(4分)(6分)，(8分)可见，因此可逆，且.(10分)七、（10分）解：由，(2分)求得的特征值为，.(3分)对应，解方程，由，(4分)得基础解系，.可知正交(5分)再将单位化，得，.(6分)对应，解方程，由，(7分)得基础解系，将单位化，得.(8分)将构成正交矩阵，(9分)有.(10分)八、（8分）证明（1）由得则（3分）所以（4分）又由得则（7分）所以（8分）九、（6分）证明：因为与相

7、似，故存在可逆矩阵，使得（2分）则（4分）且是可逆矩阵（5分）于是与相似。（6分）