篇3章逻辑代数与基本逻辑电路

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1、第三章逻辑代数与基本逻辑电路逻辑代数，又称布尔代数。由英国数学家乔治·布尔在1849提出。它用来描述客观事物中的逻辑关系，约100后才用在开关电路中。用字母或符号表示变量，但是，该变量不代表具体数值大小，而只代表某种因果关系，或代表二种截然不同的状态，电平等。例如，开关的断开和闭合、晶体管的截止和饱和导电，灯的亮和暗，事件的是和非，真和假……等3.3.1逻辑代数一、逻辑运算定律，常用公式及运算规则逻辑运算中，只有逻辑“加”、逻辑“乘”和求“反”运算，没有减法和除法运算1.基本运算定律0-1律重叠律互补律否定之否定律交换律结合律分配律摩根定律上述

2、定律可以用真值表进行证明等式成立。后四个定律也可以用前四个进行证明成立。也可扩展到多个变量0010010011001110100100111001101101101100ABA+BA+BA+BABABBABA证：例：用真值表证明摩根定律AB=A+B及A+B=AB。证明：ABCB+CA（B+C）ABACAB+AC0000000000110000010100000111000010000000101111111101110111111111证：例：证明分配律A+BC=(A+B)(A+C)。证：A+BC=A(1+B+C)+BC0-1律=A+AB+AC+

3、BC分配律=AA+AB+AC+BC重叠律=A(A+B)+C(A+B)分配律=(A+B)(A+C)分配律已证明证明：根据反演律左边=例证明“异或求反等于同或”，即求证=右边2.常用公式证：由分配律可证明成立证：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC（冗余律）推论：证：3.运算规则在任何含有变量A的等式中，如果用另一个逻辑等式F代替所有的变量A，则代替后的等式仍然成立。用A=C+D+E代入等式显然成立。代入规则：反演规则：将一个逻辑函数中的“0”换“1”，“1”换“0

4、”，“·”换“+”，“+”换“·”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则变换后的函数是原函数的反函数。这里的运算顺序是：先括号→逻辑乘→逻辑加。例：其实就是反演律（摩根定律）的应用。用反演律求：在此应注意，非号下面的组合变量（如此地的BCD）看成是一个子函数ZS，在求反函数时这ZS不变。利用反演规则可以直接求出反函数。解：由反演规则得例：对偶规则：将一个表达式中的“0”换“1”，“1”换“0”、“·”换“+”，“+”换“·”，得到的新表达式Z称为Z的对偶式。如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。例原式注意求对偶式时变量及其上反号应保留不变

5、。对偶规则的用处：当证明了某逻辑函数等号两边的表达式已相等，则求得两边各自的对偶式也必然相等，即利用对偶规则可证明恒等式。比如P56的运算定律中左、右两式就互为对偶式，所以如果左边等式已证明成立，则右边等式也必然成立。对偶式将一个逻辑函数中的“0”换“1”，“1”换“0”，“·”换“+”，“+”换“·”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则变换后的函数是原函数的反函数。反演规则：三、逻辑函数的表示方法及标准表达式1.逻辑问题的五种表示方法令开关合上为“1”，断开为“0”；灯亮时为“1”，暗为“0”。(1)真值表表示111100111101000

6、11110001001000000LCBA(2)函数式表示开关A和C合上，或B和C合上，或A、B、C都合上时灯亮，所以有函数式11110011110100011110001001000000LCBA或者从真值表得出：(3)逻辑图表示(4)波形图表示(5)卡诺图表示后一节中介绍。11110011110100011110001001000000LCBA3.3.2逻辑函数的代数法化简同一个逻辑函数有多种形式的表示:“与-或”表达式“与非-与非”表达式“或非-或非”表达式“与或非”表达式其中第一种表达式是基本形式，其它式子都可由它变换而来。“或-与”表达

7、式逻辑函数的化简就是使一个最初的逻辑函数经过化简后得到式中的“与”项、“或”项项数最少，而每项中的变量数也最少，从而使组成的逻辑电路最简（门数和每门的输入端数最少）。一、逻辑函数的代数法化简代数法化简依据逻辑代数的定律、常用公式和运算规则进行。采用的方法有：吸收法、配项法、合并法、消去法、冗余法。例3.3.1例3.3.2化简下列函数为最简的“与-或”表达式：例3.3.3例3.3.4解：该式子在提出公共变量B之后，应用了吸收法和消去法使式子达到最简。=BZ1(A,B,C,D)=ABCD+ABD+BCD+ABC+BD+BCZ1(A,B,C,D)=

8、ABCD+ABD+BCD+ABC+BD+BC=B(ACD+AD+CD+AC+D+C)=B(ACD+D+CD+AC+C)=B(ACD+D+