等差数列的前n项和--概念解析

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1、2.3.2等差数列的前n项和11．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()CA．138B．135C．95D．232．在等差数列{an}中，已知S15＝90，那么a8等于()A．3B．4C．6D．12C23．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有()CA．a1＋a101＞0C．a1＋a101＝0B．a1＋a101＜0D．a51＝514．在等差数列{an}中，已知a6＝a3＋a8，则前9项和S9等于()DA．3B．2C．1D．05．在等差数列{

2、an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝()BA．18B．99C．198D．2973重点等差数列前n项和的性质(1)若{an}成等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)也成等差数列．难点求等差数列的前n项和Sn的最值(1)根据项的正负来定：若a1＞0，d＜0，则数列的所有正数项之和最大；若a1＜0，d＞0，则数列的所有负数项之和最小．45等差数列的前n项和的性质及应用例1：等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100

3、，则它的前3m项和为()A．30B．170C．210D．260思维突破：(1)把问题特殊化，即令m＝1来解．(2)利用等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋n(n－1)2d进行求解．6(3)借助等差数列的前n项和公式Sn＝n(a1＋an)2及性质m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq求解．(4)根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥2)成等差数列”解题．(5)根据Sn＝an2＋bn求解．(6)运用等差数列求和公式，Sn＝na1＋n(n－1

4、)2d的变形式解题．7解法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70，∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110，S3＝a1＋a2＋a3＝210.8由③－②及②－①结合④，得S3m＝210.解法四：根据上述性质，知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)，∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.9解法五：∵{an}为等差数列，∴设Sn＝a·n2＋b·n，∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100，∴S3m＝9m

5、2a＋3mb＝210.解法六：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，10B1－1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63B．45C．36D．27答案：C111－2.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()CA．12B．18C．24D．42等差数列前n项和的最值问题例2：在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最值．12等差数列前n项和的最值问题除了用二次函数求解外，还可利用下面的方法讨论：①若d＞0，a1＜0，

6、当且仅当an≤0且an＋1＞0时，Sn有最小值；②若d＜0，a1＞0，当且仅当an≥0且an＋1＜0时，Sn有最大值．取最值时，应考虑n在正整数范围内取值．由二次函数的性质可知，当n＝13时，Sn有最大值为169.132－1.数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列的公差；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn＞0时，求n的最大值．14S6＝6×23＋，(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0，∴当n＝6时，Sn取得最大值，6×52×(

7、－4)＝78.(3)Sn＝23n＋n(n－1)2×(－4)＞0，整理得：n(25－2n)＞0，∴0＜n＜252又n∈N*，所求n的最大值为12.15等差数列前n项和的实际应用例3：一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，求前110项之和．解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则1617解法二：设等差数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn，18解法三：设等差数列的首项为a1，公差为d，19∴S110＝－110.203－1.(2010年浙江)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n

8、项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．21(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2＋9da1＋10d2＋1＝0.故(4a1＋9d)2＝d2－8.∴d2≥8.22例4：已知一个等差数列{an}的通项公式an＝25－5n，求数列{

9、an

10、}的前n项和Sn.23错因剖析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0得，n≤5理解为