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《概率论和数理统计理工类(周概容著)高等教育出版社》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、SBGX概率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页习题1随机事件及其概率习题解答(A)一、事件的关系和运算1.1以表示10次射击命中的次数,考虑事件,,说明如下事件的含义:,.解1.2说明事件的含义:(1)自等十个阿拉伯数字中随机选八个(允许重复),组成一个八位电话号码(第一位数不为0).引进事件:{号码中不含数字},{号码中含数字}(=),,,,.(2)靶子由半径为的同心圆构成,以表示事件“命中半径为的圆”(),.解(1){不含0,9};{不含0或9};={含9不含0};={含0或9}.(2){半径为的圆环};{半径为的圆};{半径为的圆};{半径为的圆}.题1.3
2、插图MNab1.3设电路中装有和两个继电器.以和分别表示和为通路,以和分别表示和断路.利用电路的“通”和“断”两种状态,导出关于事件和的对偶律:,.解引进事件{为通路},则={为断路}.显然,,,因此.在分别将换成,将换成,得,于是.1.4对任意二事件和,证明:(1)Æ;(2).解(1)由事件运算的分配律,可见(2)由事件运算的分配律,可见SBGX概率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页.1.5设和是任意三事件,讨论下列命题是否正确:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)若,则.解易见,(1),(2),(3)都不正确,只有(4)正确.事实上,由事件运算的对
3、偶律,可见.而由且,可见和互为对立事件,即,因此(4)确实正确.(2)不难说明(1),(2),(3)都不成立.为此只需分别举出反例:例如,由于是三任意事件,取而是必然事件,则且,但,从而(1)和(2)不成立.设,则但,从而(3)不成立.注意,该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处.二、概率的直接计算1.6假设一批100件商品中有4件不合格品.抽样验收时从中随机抽取4件,假如都为合格品,则接收这批产品,否则拒收,求这批产品被拒收的概率p.解以表示随意抽取的4件中不合格品的件数,则1.7从等11个数中随机取出三个,求下列事件的概率:={三个数最大的是5};={三个数大于、等于
4、和小于5的各一个};={三个数两个大于5,一个小于7}.解从11个数中随机取出三个,总共有种不同取法,即总共有个基本事件,其中有利于的取法有种(三个数最大的是5,在小于5的5个数中随意取两个有种不同取法);有利于的取法有5×5=20种(在小于5的5个数中随意取一个,在大于5的5个数中随意取一个,有5×5=25种不同取法);有利于的取法有5×种(在小于5的5个数中随意取一个,在大于5的5个数中随意取两个).于是,最后得1.8考虑一元二次方程,其中B,C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数.(1)求方程无实根的概率,(2)求方程有两个不同实根的概率.解显然,系数B和C各有1,2,
5、3,4,5,6等6个可能值;将一枚色子接连掷两次,总共有36个基本事件.考虑方程的判别式.事件{无实根}和{有两个不同实根},等价于事件和.下表给出了事件和所含基本事件的个数.SBGX概率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页B123456{}含基本事件数00236617由对称性知和等价,因此.易见,方程无实根的概率和有两个不同实根的概率为.1.9随机将分别印有1,2,3,4四张卡片排成一行.求事件的概率:{至少一张卡片排列的顺序号与其数字相同}.解设={印有的卡片列的顺序号恰好是}(1,2,3,4),则.那么,.由一般加法公式,可见显然(例1.7).四张卡片排成一行
6、,总共有4!种不同情形.四张卡片中任何两张(例如第一张和第二张)的顺序号恰好所印数字一致,总共有1×1×2×1=2种不同情形(第一张和第二张各有一种选择,第三张剩下两种选择,第四张最后只剩下一种选择).因此.若四张中任何三张(例如,第一、第二和第三张)都分别印有1,2,3,则第四张自然印有4.因此于是,有1.10从中,随意取4个数字(允许重复)排成一列,结果恰好形成一个四位数.求下列事件的概率:={4个数字两两不等};={此数是奇数};={6至少出现一次};={6恰好出现一次}.解考虑自总体的次放回抽样.基本事件的总数:第一位数字(不为0)有9种选择,其余三位数字共有103种选择
7、.分别以表示所含基本事件的个数.(1);(2):第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择;(3),即基本事件的总数减去的对立事件SBGX概率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页={6不出现}所含基本事件的个数;(4):只有第一位数是6的共有种情形,6只出现在第2,3或4位数上的情形各有种;于是,所求概率为三、概率的基本公式和运算法则1.11假设箱中黑、白、红球各有个,12个球除颜色外完全相同.现在一个一个地从箱中取出所有的球,求取到红球比黑