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1、SBGX概率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页习题1随机事件及其概率习题解答（A）一、事件的关系和运算1.1以表示10次射击命中的次数，考虑事件，，说明如下事件的含义：,.解1.2说明事件的含义：(1)自等十个阿拉伯数字中随机选八个(允许重复)，组成一个八位电话号码(第一位数不为0)．引进事件：{号码中不含数字}，{号码中含数字}(=)，,,,．(2)靶子由半径为的同心圆构成，以表示事件“命中半径为的圆”()，．解(1){不含0,9}；{不含0或9}；={含9不含0}；={含0或9}．
2、(2){半径为的圆环}；{半径为的圆}；{半径为的圆}；{半径为的圆}．题1.3插图MNab1.3设电路中装有和两个继电器．以和分别表示和为通路，以和分别表示和断路．利用电路的“通”和“断”两种状态，导出关于事件和的对偶律：，．解引进事件{为通路}，则={为断路}．显然，，，因此．在分别将换成，将换成，得，于是．1.4对任意二事件和，证明：(1)Æ；(2)．解(1)由事件运算的分配律，可见(2)由事件运算的分配律，可见SBGX概率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页．1.5设和是任意三事
3、件，讨论下列命题是否正确：(1)若，则；(2)若，则；(3)若，则；(4)若，则．解易见，(1),(2),(3)都不正确，只有(4)正确．事实上，由事件运算的对偶律，可见．而由且，可见和互为对立事件，即，因此(4)确实正确．(2)不难说明(1),(2),(3)都不成立．为此只需分别举出反例：例如，由于是三任意事件，取而是必然事件，则且，但，从而(1)和(2)不成立．设，则但，从而(3)不成立．注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处．二、概率的直接计算1.6假设一批100件商品中有4件不合
4、格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p．解以表示随意抽取的4件中不合格品的件数，则1.7从等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：={三个数最大的是5}；={三个数大于、等于和小于5的各一个}；={三个数两个大于5，一个小于7}．解从11个数中随机取出三个，总共有种不同取法，即总共有个基本事件，其中有利于的取法有种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有种不同取法）；有利于的取法有5×5=20种（在小于5的5个数中随意取一个，
5、在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；有利于的取法有5×种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得1.8考虑一元二次方程,其中B,C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数．(1)求方程无实根的概率，(2)求方程有两个不同实根的概率．解显然，系数B和C各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事件．考虑方程的判别式．事件{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件和．下表给出了事件和所含基本事件的个数．SBGX概
6、率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页B123456{}含基本事件数00236617由对称性知和等价，因此．易见，方程无实根的概率和有两个不同实根的概率为．1.9随机将分别印有1,2,3,4四张卡片排成一行．求事件的概率：{至少一张卡片排列的顺序号与其数字相同}．解设={印有的卡片列的顺序号恰好是}(1,2,3,4)，则．那么，．由一般加法公式，可见显然(例1.7)．四张卡片排成一行，总共有4!种不同情形．四张卡片中任何两张(例如第一张和第二张)的顺序号恰好所印数字一致，总共有1×1×2
7、×1＝2种不同情形(第一张和第二张各有一种选择，第三张剩下两种选择，第四张最后只剩下一种选择)．因此．若四张中任何三张(例如，第一、第二和第三张)都分别印有1，2，3，则第四张自然印有4．因此于是，有1.10从中，随意取4个数字(允许重复)排成一列，结果恰好形成一个四位数．求下列事件的概率：={4个数字两两不等}；={此数是奇数}；={6至少出现一次}；={6恰好出现一次}．解考虑自总体的次放回抽样．基本事件的总数：第一位数字（不为0）有9种选择，其余三位数字共有103种选择．分别以表示所含基本事件的
8、个数．(1)；(2)：第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择；(3)，即基本事件的总数减去的对立事件SBGX概率统计(理工类)习题1解答事件的概率第67页共68页＝｛6不出现｝所含基本事件的个数；(4)：只有第一位数是6的共有种情形，6只出现在第2,3或4位数上的情形各有种；于是，所求概率为三、概率的基本公式和运算法则1.11假设箱中黑、白、红球各有个，12个球除颜色外完全相同．现在一个一个地从箱中取出所有的球，求取到红球比黑
