正文描述:《概率论与数理统计-吴赣昌-理工类简明版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、连续型随机变量及其概率密度定义如果对随机变量的分布函数负可积函数使得对任意实数有则称为连续型随机变量,称的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.的性质,由定义及分布函数(1)(2)存在非易见概率密度具有下列性质:注:上述性质有明显的几何意义.连续型随机变量及其概率密度(1)(2)易见概率密度具有下列性质:注:上述性质有明显的几何意义.反之,可证一个函数若满足上述性质,则该函数一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数.完连续型随机变量分布函数的性质1.对一个连续型随机变量若已知其密度函数则概据定义,可求得其分布函数同时,还可求得的取值落在任意区间上的概率:2.连
2、续型随机变量取任一指定值的概率连续型随机变量分布函数的性质2.连续型随机变量取任一指定值的概率故对连续型随机变量有为0.3.若在点处连续,则(1)连续型随机变量分布函数的性质3.若在点处连续,则(1)由定义和积分上限函数导数公式即得,由(1)式得:(2)可将上式理解为:在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度连续型随机变量分布函数的性质在点的密度恰好是落在区间上的概率之比的极限(比与区间长度较线密度的定义).由(2)式,若不计高阶无穷小,则有即,落在小区间上的概率近似等于完例1设随机变量的密度函数为求其分布函数解当当解当当当故完例2设随机变量具有概率
3、密度(1)确定常数(2)求的分布函数(3)求完例2设随机变量具有概率密度(1)确定常数解由得解得于是的概率密度为解由得解得于是的概率密度为其它.完例2设随机变量具有概率密度(2)求的分布函数解的分布函数为解.完例2设随机变量具有概率密度(3)求解例2设随机变量具有概率密度(3)求解或完例3设随机变量的分布函数为求(1)概率(2)的密度函数.解由连续型随机变量分布函数的性质,有(1)(2)的密度函数为例3设随机变量的分布函数为求(2)的密度函数.解(2)的密度函数为完均匀分布定义若连续型随机变量的概率密度为其它易见,记为上服从均匀分布,则称在区间注:在区间上服从均匀分
4、布的随机变量其取值落在中任意等长度的子区间内的概率是相同的,且与子区间的和度成正比.事实上,子区间任取均匀分布是相同的,且与子区间的和度成正比.事实上,子区间任取易求得的分布函数完例4某公共汽车站从上午7时起,每15分钟来一班车,即7:00,7:15,7:30,7:45等时刻有汽车到达此站,如果乘客到达此站时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解以7:00为起点0,以分为单位,依题意解以7:00为起点0,以分为单位,依题意为使候车时间少于5分钟,乘客必须在7:10到7:15之间,或在7:25到7:30之间到达车站,故所求概率为即
5、乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.完指数分布定义若随机变量的概率密度为其中则称服从参数为的指数分布,简记为易见,的几何图形如图.注:指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间,例如,乘客在公交指数分布注:指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间,例如,乘客在公交车站等车的时间,电子元件的寿命等,易求得的分布其它服从指数分布的随机变量具有无记忆性,有因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.函数即对任意()*指数分布服从指数分布的随机变量具有无记忆性,有即对任意()*若表示某一元件的寿命,使用了小时,它总共能使用至少则式表明:()*已知元件指数分布若表示某一元件
6、的寿命,使用了小时,它总共能使用至少则式表明:()*已知元件概率与从开始使用时算起率相等,一性质是指数分布具有广泛应用的重要原因.即元件对它使用过小时没有记忆,完它至少能使用小时的概具有这小时的条件例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解由题设知,的分布函数为由此得到各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数,例5某元件的寿命服从指数分布,已知其参数求3个这样的元件使用1000小时,至少已有一个损坏的概率.解各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件
7、中使用1000小时损坏的元件数,所求概率为则完正态分布定义若随机变量的概率密度为其中和都是常数,则称服从参数为和的正态分布,记为易见,又利用泊松积分参见相关知识点①易证,正态分布易证,注:正态分布是概率论中最重要的连续型分布,在十九世纪前叶由高斯加以推广,故又常称为高斯分布.一般来说,一个随机变量如果受到许多随机因素的影响,而其中每一个因素都不起主导作用,正态分布一般来说,一个随机变量如果受到许多随机因素的影响,而其中每一个因素都不起主导作用,则它服从正态分布.例如,产品的质量指标,元件的尺寸,某地区成年男子的身高、体重,测量误差,射击目标的水平或垂直偏差,信号
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